কুইজ :: Oct 2015; Week 4

সমস্যা-1:

সমাধান: কয়েকটা ব্যাপার আগে ঝালাই দিয়ে নেয়া উচিত। a^b আকারের পদের ক্ষেত্রে সাধারণত তিনটি ক্ষেত্রে মান 1 হয়।

যখন b=0 হয়;
যখন a=1 হয়;
যখন a=−1 হয় এবং b জোড় হয়।

প্রথমেই প্রথম কেসটা বিবেচনা করি। এক্ষেত্রে হতে হবে। সমাধান করে পাব,

এবার দ্বিতীয় কেসে আসা যাক। এক্ষেত্রে, হবে। এই সমীকরণ থেকে,

আর, সর্বশেষ কেসে । এই সমীকরণও সমাধান করতে হবে।

এখন আবার x=−3 ও x=−4 কে পদটিতে বসিয়ে দেখতে হবে এর মান জোড় হয় কিনা!

তার মানে, x=−4 মানটি গ্রহণযোগ্য নয়। ফলে, x এর মান দাঁড়াচ্ছে:

সুতরাং, সব বাস্তব মানসমূহের যোগফল হবে −17 ।

সমস্যা-2: হলে d এর মান কত?

সমাধান: আমরা জানি,

প্রদত্ত সিরিজটাকে এই আকারে রূপান্তর করতে চেষ্টা করি।

অর্থাৎ, d এর মান 3 ।

সমস্যা-3: 3 জন ছেলে ও 4 জন মেয়ে সারিবদ্ধভাবে দাঁড়িয়ে আছে। ধরি, Z হচ্ছে সেসব জায়গার সংখ্যা যেখানে একটি ছেলে ও একটি মেয়ে পাশাপাশি দাঁড়ানো। যেমন, BGGBGBG কম্বিনেশনে Z=5 (B=ছেলে; G=মেয়ে)। Z এর গড় মান নির্ণয় কর। (সম্ভাব্য সব বিন্যাস বিবেচনায় রেখে)

সমাধান: 7 জনের মাঝে জায়গা থাকবে 6 টি। ধরা যাক, আমরা প্রথম জায়গাটি নিয়ে চিন্তা করছি। এই জায়গাটির পাশে বসা মানুষ দুজনের একজনকে ছেলে এবং আরেকজনকে মেয়ে হতে হবে জায়গাটিকে Z হিসেবে গণ্য করার জন্য। প্রথম ও দ্বিতীয়জনকে বাছাই করার কত উপায় আছে? টি। আর একজন ছেলে ও একজন মেয়ে বাছাই করা যাবে টি উপায়ে। তাহলে, প্রথম স্থানটি Z হওয়ার সম্ভাবনা । এভাবে 6 টি জায়গার প্রত্যেকটিরই Z হওয়ার সম্ভাবনা অভিন্ন। আর, এই সম্ভাবনাই মোট Z এর কাঙ্ক্ষিত সংখ্যা। যেহেতু, জায়গা 6 টি তাই Z এর গড় মান দাঁড়াচ্ছে, বা ।

এই সমস্যাটিকে আমরা আরো Generalize করতে পারি। ধরা যাক, মোট n জন আছে যাদের মধ্যে k জন ছেলে এবং বাকি (n-k) জন মেয়ে। তখন, Z এর গড় মানের জন্য আমরা নিম্নরূপ ফর্মুলা পাব,