কুইজ :: Oct 2015; Week 1

সমস্যা-1: 

সমাধান: আমরা প্রথম দুটি পদের গুণফল বের করার চেষ্টা করি।

একইভাবে আমরা তৃতীয় ও চতুর্থ পদের গুণফলও বের করে ফেলতে পারি!

এখন আমরা উপরে প্রাপ্ত দুইটি পদকে গুণ করে দিব।

সমস্যা-2:  কে শুধুমাত্র একটি ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ কর।

সমাধান: সমস্যাটা মোটেও কঠিন না! যাদের কাছে কঠিন মনে হচ্ছে তারা একটু পরেই ব্যাপারটা বুঝতে পারবে। এই ধারার প্রত্যেকটি পদকে আমরা একটু ভিন্নভাবে লেখব।

মেকানিজমটা নিশ্চয়ই বুঝতে পারছ!

তাহলে,

এটিই ধারাটির যোগফল!

সমস্যা-3: ধরে নেই যে, S নামের একটি সেটে 5 টি ভিন্ন ভিন্ন উপাদান আছে। এই সেটটি থেকে আমরা দুইটি উপসেট বেছে নেব। (উপসেট দুটিতে একই উপাদান থাকতে পারে।) শর্ত হচ্ছে যে, উপসেট দুটির সংযোগ সেট S হতে হবে। আরেকটি ব্যাপার হল যে, বাছাইকৃত উপসেট দুটির ক্রম বিবেচ্য নয়। যেমন, {a,b,c}, {b,d,e} আর {b,d,e}, {a,b,c} কে একই উপায় হিসেবে গণ্য করা হবে। প্রশ্ন হচ্ছে, মোট কত উপায়ে আমরা উপসেট দুটি বাছতে পারি?

সমাধান: ধরি, বাছাইকৃত উপসেট দুটি হচ্ছে A ও B। যেকোনো একটি উপাদান x এর জন্য নিচের তিনটি শর্তের যেকোনো একটি প্রযোজ্য।

তার মানে প্রত্যেকটি উপাদান 3 উপায়ে বর্ণিত হতে পারে আর উপাদান আছে 5 টি। ফলে, A আর B নির্বাচন করার উপায় হবে 3⁵ টি।

দুইটি উপসেটের ক্রম বিবেচ্য হলে এটাই উত্তর হত। কিন্তু, এখানে ক্রম বিবেচনা করা যাবে না। মানে, A={a,b,c}; B={b,d,e} আর A={b,d,e}; B={a,b,c} একই উপায় ধরে নিচ্ছি আমরা। কিন্তু, 3⁵ সব উপায়ই আলাদা আলাদাভাবে গুনে ফেলেছি আমরা! একটু চিন্তা করলেই বুঝতে পারবে যে, বেশিরিভাগ কাঙ্ক্ষিত উপায় আমরা দুইবার গণনা করেছি উপরের উদাহরণটার মত। শুধু মাত্র একটা উপায় দুইবার গণনা করা হয়নি আর সেটা হচ্ছে A=B=S={a,b,c,d,e} । আর সেই কারণেই, কাঙ্ক্ষিত মোট উপায় সংখ্যা দাঁড়াবে,

সমস্যা-4: 1,3,4,9,10,12,13,27,…… এই ধারাটি হচ্ছে এমন সব ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার যারা হয় 3 এর ঘাত অথবা 3 এর distinct (ভিন্ন ভিন্ন) ঘাতসমূহের যোগফল।(যোগফলের ক্ষেত্রে কোনো একটি ঘাতকে একবারের বেশি ব্যবহার করা যাবে না।) এই ধারার 100 তম পদটি কি?

সমাধান: এই সমস্যাটাই তুলনামূলকভাবে সবচেয়ে কঠিন এই সপ্তাহে! প্রথমে আমরা সমস্যাটির স্বরূপ সম্পর্কে কানতে চেষ্টা করি। ধারাটি 3 এর ঘাত আর তাদের যোগফল দ্বারা গঠিত। যেমন, 3⁰ = 1 হচ্ছে ধারাটির প্রথম পদ। 3¹ = 3 হচ্ছে দ্বিতীয় পদ। তৃতীয় পদটি হচ্ছে 3⁰+3¹ = 1+3 = 4 ।

আমরা যদি আরেকটু বর্ণনামূলক হই তাহলে লিখব, 1×3⁰ + 1×3¹ = 4 । কেন 1 লিখলাম তা পরের লাইনগুলো দেখলে বুঝা যাবে,

যারা সংখ্যার ভিত্তি নিয়ে পড়েছ তাদের কাছে হয়তো উপরের এই ভেঙ্গে লেখাটা পরিচিত মনে হচ্ছে! আমি এখন 3-ভিত্তিক সংখ্যা নিয়ে আসব এই আলোচনায়। 9, 10, 12, 13 কে 3-ভিত্তিক সংখ্যায় আমরা নিম্নোক্তভাবে লিখতে পারি,

তার মানে, ধারাটিতে শুধু সেসব সংখ্যাই থাকবে যাদেরকে 3-ভিত্তিক সংখ্যা পদ্ধতিতে কেবল 1 আর 0 দ্বারা লিখা যায়। এখন নিচের লাইনগুলো মনোযোগ দিয়ে খেয়াল কর।

উপরের লাইনগুলোতে আমি ধারার কোনো একটি পদের সাথে পদটির অবস্থান সংখ্যার একটি সম্পর্ক দেখানোর চেষ্টা করেছি! যেমন, 101 যদি 3-ভিত্তিক সংখ্যা হয় তাহলে দশভিত্তিক পদ্ধতিতে এর মান হবে 10; আবার 101 যদি বাইনারি সংখ্যা হয় তবে দশভিত্তিক পদ্ধতিতে এর মান হয় 5 । অর্থাৎ, ধারাটির কততম সংখ্যা কত তার একটি সম্পর্ক আমরা পেয়ে গেলাম।

এই সম্পর্ক ব্যবহার করে তাই আমরা 100 তম পদও বের করে ফেলতে পারব।

সুতরাং, ধারাটির 100 তম পদটি হচ্ছে 981 ।