Reading Time: 1 minute

সমস্যা-1: দেয়া আছে, (z+1)(z-1)=z । এখন, z^16+z^(-16) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণটি থেকে z এর মান বের করে তা যে রাশিটির মান নির্ণয় করতে হবে সেখানে বসালেও হত। কিন্তু, এই উপায় অনেক সময়সাপেক্ষ। তাই, আমরা অন্য রাস্তা খুঁজব।

gross

সমস্যা-2: ধরি, n=2^17×3^21. তাহলে n^2 এর কতগুলো ধনাত্মক বিভাজক পাওয়া যাবে যারা n এর চেয়ে ছোট কিন্তু n এর বিভাজক নয়?

সমাধান: gross এর Prime factorization হবে নিম্নরূপ,

gross

আমাদেরকে gross এর এমন সব Divisor নির্ণয় করতে হবে যেগুলোর মান gross এর চেয়ে কম কিন্তু যেগুলো দ্বারা gross নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।

দেয়া আছে,

gross

তাহলে, কাঙ্ক্ষিত সংখ্যাগুলোর Prime factorization এ শুধু 2 আর 3 থাকতে পারবে। 2 এর ঘাত হতে পারবে 1 থেকে 34 পর্যন্ত এবং 3 এর ঘাত হতে পারবে 1 থেকে 42 পর্যন্ত।

এখন শর্ত পূরণকৃত divisor গুলোকে সাধারণ আকারে লিখব।

gross

gross এর চেয়ে divisor গুলোকে ছোট হতে হবে। আর তাই, gross যখন gross এর চেয়ে বড় তখন gross দিয়ে গুণ করে gross দিয়ে ভাগ দিয়েছি। ফলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি gross এর চেয়ে ছোট রয়ে গেছে। ঠিক একইভাবে, gross এর বেলায় gross দিয়ে ভাগ করে gross দিয়ে গুণ দেওয়ায় সংখ্যার মান gross এর চেয়ে ছোট হয়েছে।

আবার gross এর সর্বোচ্চ মান হতে পারে 17  ( নইলে এটি আর gross এর divisor থাকবেনা)! একইভাবে  grossএর মান হতে পারে সর্বোচ্চ 21 .

ফলে, gross আর gross এর জন্য নিচের রেঞ্জগুলো সত্যি।

gross

সুতরাং, gross ও gross এর যতগুলো বিন্যাস সম্ভব ঠিক ততগুলো কাঙ্ক্ষিত divisor থাকবে। আর, gross ও gross এর বিন্যাস সংখ্যা হচ্ছে gross .

এই সমাধানের আরো generalized version ও লিখতে পারি আমরা। যদি gross হয় তাহলে, gross এর যেসব divisor গুলো gross এর চেয়ে ছোট কিন্তু gross এর divisor নয় তাদের সংখ্যা হবে gross .

সমস্যা-3:

সমাধান: প্রথমে নামান্বিত করে নিই।

gross

আমরা কোণ ADB ও কোণ ADC এর জন্য cosine rule প্রয়োগ করব। ধরি, কোণ ADB = θ । তাহলে,

gross

আর তাই,

gross

ATM Jahid Hasan

ATM Jahid Hasan

Little is known and little will be known.
ATM Jahid Hasan
ATM Jahid Hasan
ATM Jahid Hasan

Latest posts by ATM Jahid Hasan (see all)