Reading Time: 2 minutes

আমরা গত পর্বে (অনেক আগে  চাইলে দেখে নিতে পারো এখান থেকে  ফাংশনের পর্যায়  😀 ) শেষ করেছিলাম, একাধিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশন দ্বারা গঠিত বীজগাণিতিক রাশির পর্যায় বের করে। যেমনঃ sin (x) – sin (2x) + cos (3x) এরূপ রাশির পর্যায় বের করে।
গত পর্বের আলোচনা থেকে তোমরা আশা করি নিচের ব্যাপারটা বুঝতে পেরেছোঃ
function 1
আজ তাহলে আমরা ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলো যদি গুণাকারে থাকে তাহলে পর্যায় কিরকম হবে তা নিয়ে আলোচনা করব। এজন্য আমাদের ত্রিকোণমিতিক অভেদগুলো (সূত্রগুলো) সম্পর্কে জানতে হবে। চলো একটু সংক্ষেপে দেখে নেয়া যাক।
function 1
বলো তো sin(2x)cos(2x) এর পর্যায় কত?

আচ্ছা একটু হিসেব করি চলো।
function 1
function 1
এবার বলো তো sin(4x) এর পর্যায় কত? কি পারবে না? যেহেতু দুইপক্ষ সমান তার মানে একপাশের পর্যায় যা আরেকপাশের পর্যায়ও তাই।  😀
sin (2x)cos(2x) এর পর্যায় হল π /2 .

চলো তাহলে graph টা দেখি।
function 1

এবার তাহলে একটা ছোট প্রমাণ করে ফেলি।

sin (mx) cos (mx) এর পর্যায় কত?
function 1
sin (2mx) এর পর্যায় 2π /2m বা π /m।
অর্থাৎ sin (mx) cos (mx) এর পর্যায় π /m , যেখানে m যেকোনো বাস্তব সংখ্যা।

এবার তাহলে নিচের  sin (x√2) cos (x√2) এর graph টা দেখে ফেলি।

function 1

এবার তাহলে বলো দেখি, sin(2x) cos(3x) এর পর্যায় কত? তোমরা উত্তর বের করতে থাকো ততক্ষণে আমরা আরও একটা প্রমাণ দেখে ফেলি।
এখন আমরা sin (mx) cos (nx) এর পর্যায় বের করব।
function 1
sin ( (m+n)x ) আর sin( (m – n)x )এর পর্যায় যথাক্রমে 2π /(m+n) আর         2π /|(m – n)|। তাহলে ডানপক্ষের পর্যায় হবে 2π /(m+n) আর 2π /|(m – n)| এর ল.সা.গু. অর্থাৎ sin (mx) cos (nx) এর পর্যায় হবে 2π /(m+n) আর 2π /|(m – n)| এর ল.সা.গু.। যেখানে m আর n হল যেকোনো মূলদ সংখ্যা (অমূলদ নয় কেন? 😀 )
function 1
খেয়াল রেখো কোনটাকে ১ম কোণ ধরছো। 🙂

আশা করি তোমরা এতক্ষণে sin(2x)cos(3x)এর পর্যায় বের করে ফেলেছো । চলো এবার তাহলে sin(2x)cos(3x)এর graph টা দেখি।
function 1

একইভাবে,
function 1
এবং
function 1

আশা করি তোমরা এ ধরণের ফাংশনগুলোর পর্যায় নিজেরাই বের করতে পারবে। এবার তাহলে চলো কিছু উদাহারণ আর graph দেখি।

cos(3x)cos(5x) এর পর্যায় কত?
উত্তরঃ 2π / 8 আর 2π / 2 এর ল.সা.গু. π ।

graph:
function 1

sin(x/2)sin(2x) এর পর্যায় কত?
উত্তরঃ 2π / (5/2) আর 2π / (3/2) এর ল.সা.গু. 4π ।

graph:
function 1

তাহলে বের করে ফেলো নিচের ফাংশনগুলোর পর্যায়ঃ
i) cos(2x)cos(4x)           iii) sin(x/2)cos(x/3)
ii) cos(x/2)cos(2x)         iv) sin(7x)sin(11x)
power থাকলে তার পর্যায় নির্ণয়ঃ

চলো দেখি power যখন বিজোড় ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা তখন কি ঘটে।
প্রথমে একটু নিচের graph টা দেখো।
function 1

আচ্ছা, ব্যাপারটাকে একটু এভাবে চিন্তা করি চলো।
প্রথমে বলো তো, f(x)= x ফাংশনটার প্রকৃতি ও graph কেমন? x এর ধনাত্মক মানগুলোর জন্য f(x)ধনাত্মক আর ঋণাত্মক মানগুলোর জন্য f(x)ঋণাত্মক আর graph হল মূলবিন্দুগামী   সরলরেখা। এবার তাহলে বলো f(x)= x^3 (মানে x এর power 3 আর কি) এর প্রকৃতি আর graph কেমন? প্রকৃতি একই আর graph টাও মূলবিন্দুগামী, তাই না? পরিবর্তনটা কি হল তাহলে? আসলে আগে x এর কোন মানের জন্য f(x)এর যে মান পাচ্ছিলাম এবার তার চেয়ে অনেক বেশি (যখন |x| > 1) আর কম (যখন |x| < 1) পাচ্ছি। graph টাও আগের মত আর সরলরেখা নেই বক্ররেখা হয়ে গেছে। 😀 মানে আগের চেয়ে এবার আরও বেশি খাড়া (।x। < 1 এর জন্য নুইয়ে পরেছে) হয়েছে। আমরা যেটাকে বলি “ঢাল” বেড়েছে (বা নুইয়ে পরলে কমেছে) (ঢাল নিয়ে পরে কোন এক সময় বলব। 😀 )। আচ্ছা, এভাবে যদি বাড়াতে থাকি তাহলে দেখবো আস্তে আস্তে রেখাগুলো আরও বেশি খাড়া হয়ে যাচ্ছে, মানে ঢাল বাড়ছে।
তার মানে, আমরা বলতে পারি, power বাড়লে ফাংশনের মান বাড়ে বা কমে , graph খাড়া হতে থাকে বা নুইয়ে যেতে থাকে মানে ঢাল বাড়তে বা কমতে থাকে। আচ্ছা, মানের অবস্থানের কি পরিবর্তন হয়? না। (উপরের graph এ দেখো যেমনঃ x=3 বরাবর 3, 3^3, 3^5, 3^7, 3^9, 3^29 আছে, আগে বা পরে নেই।)তার মানে আমরা বলতে পারি power এর উপস্থিতি ফাংশনের মানের অবস্থানের পরিবর্তন করে না।

এবার তাহলে চলো মূল আলোচনায় যাই।

আমরা জানি,
function 1

sin(x)এর মান যেহেতু 1 এর সমান বা তার চেয়ে ছোট তাই power বাড়লে মান ধীরে ধীরে কমতে থাকবে, graph নুইয়ে যেতে থাকবে, ঢাল ধীরে ধীরে কমতে থাকবে কিন্তু মানগুলোর অবস্থানের কোন পরিবর্তন হবে না। আচ্ছা বলো তো পর্যায় পরিবর্তন হবে কখন? যখন মানগুলো আমরা আগে যেখানে পাচ্ছিলাম সেখানে না পেয়ে যদি আগে বা পরে থেকে পাওয়া শুরু করি অথবা একেবারেই আর না পাই। কিন্তু থাকার কারণে মানগুলো আগের জায়গাতে থেকেই বাড়তে বা কমতে (এর ক্ষেত্রে কমছে) থাকে, আগায়ও না পিছায়ও না আবার নতুন মানও আসে না।(মানে 3^3 =27 অর্থাৎ 3 কে তুমি যতবারই cube কর 27 পাবে আবার 3 কেই cube করলে 27 পাবে অন্য কোন সংখ্যাকে cube করলে নয়।) বুঝতে পারো নি? আচ্ছা, আরেকটু পরিষ্কার করি তাহলে।
ধরি, f(x)= sin(x) আর g(x)= (sin(x))^3. x এর বিভিন্ন মানের জন্য sin(x)এর যে মানগুলো আসছিলো (sin(x))^3 এর ক্ষেত্রে x এর ওই একই মানের জন্য ফাংশনের মানগুলো sin(x)এর মানের cube হয়ে আসতে থাকবে। যেহেতু একটা বাস্তব সংখ্যার cube অপর বাস্তব সংখ্যার cube এর সমান হতে পারে না, তাই মানগুলোর অবস্থানের কোন পরিবর্তন হবে না।
function 1

sin(x) এর মান যেহেতু পর্যায়ক্রমে আসে সুতরাং (sin(x))^3 এর মানগুলোও পর্যায়ক্রমে একই জায়গা থেকে আসতে থাকবে। (sin(x))^3 এর graph টা কেবল নুইয়ে যাবে sin(x) থেকে অর্থাৎ ঢাল কমে যাবে কিন্তু পুরো graph এর কোন সংকোচন বা প্রসারণ হবে না(আমরা আগে দেখেছি পুরো graph সংকুচিত হলে পর্যায় কমে আর প্রসারিত হলে পর্যায় বাড়ে)। তার মানে sin(x) এর পর্যায় যা (sin(x))^3 এর পর্যায়ও তাই হবে অর্থাৎ 2π. একইভাবে বাকি বিজোড় সংখ্যাগুলোকে নিয়েও একই মন্তব্য করা যায় ।

এবার
নিচের graph টা দেখো।
function 1

আমরা অনেক গুরুত্বপূর্ণ একটা কাজ করে ফেলেছি। বলো তো তাহলে পর্যায়ে কোন পরিবর্তন হবে কি? না, তাই না? 😀
আমরা তাহলে আমাদের আলোচনা থেকে বলে ফেলতে পারি,
(sin(x))^(2m-1) এর পর্যায় 2π. যেখানে m যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা।

এবার তাহলে চলো দেখি power জোড় হলে কি ঘটে।
নিচের graph টা দেখো।
function 1

প্রথমে বলো তো, f(x)= x^2 ফাংশনটার প্রকৃতি ও graph কেমন? x এর ধনাত্মক আর ঋণাত্মক সব মানগুলোর জন্যই f(x)ধনাত্মক আর graph হল মূলবিন্দুগামী পরাবৃত্ত।আচ্ছা power বাড়লে কি আগের মত ঘটনাই ঘটবে না? বিজোড় power এর ক্ষেত্রে যেরকম ঘটেছিল? তাহলে পার্থক্য কি হবে? আসলে পার্থক্য আর কিছুই নয় খালি আগেরবার আমরা ফাংশনের ঋণাত্মক কিছু মান পাচ্ছিলাম, এবার আর ঋণাত্মক কোন মান পাব না, সব ধনাত্মক মান পাব

(আসলে power হিসেবে 2 এর উপস্থিতি নিচের মত কাজটি করেঃ
function 1
)

আর আগেরবার আমাদের শুরুর ফাংশনটা ছিল f(x)= x আর এবার তা f(x)= x^2।আশা করি, তোমাদের আবার বলতে হবে না, তোমরা ইতোমধ্যেই বুঝে গেছো। 🙂 আমরা তাহলে একবারে মূল আলচনায় চলে যাই।
আমরা আমাদের আগের বিজোড় এর জন্য করা আলচনার রেশ টেনে বলতে পারি, (sin(x))^2 এর পর্যায় যা হবে sin(x)এর সব জোড় power এর জন্য পর্যায় তাই হবে। এখন, (sin(x))^2 এর পর্যায় কত?
function 1
অর্থাৎ cos(2x)এর পর্যায়ই(sin(x))^2 এর পর্যায় যা হল π (সামনের 1/2 নিয়ে ভয় নেই ওটাও পুরো graph এর স্থানান্তর নির্ধারণ করে পর্যায়ে কোন ভূমিকা রাখে না। 😀 )। আমরা তাহলে বলতে পারি,

(sin(x))^(2m) এর পর্যায় π. যেখানে m যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা।

এবার নিচের graph টা দেখো।
function 1

আমরা জানি sin Θ বা cos Θ এর পূর্ণসাংখ্যিক power থাকলে তাকে sin Θ বা cos Θ এর expression আকারে প্রকাশ করা যায়। এখানে expression গুলোর সাধারণ রূপ দেয়া হলঃ (তোমরা প্রমাণ করে দেখতে পারো, আজ এগুলোর প্রমাণ আমাদের আলোচনা বহির্ভূত বিধায় আর দিলাম না, পরে কোন এক সময় দেয়া যাবে। :D)
function 1
function 1
যখন n বিজোড়।

function 1
function 1
যখন n জোড়।

তোমরা আশা করি বুঝতে পেরেছো, ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের জোড় আর বিজোড় power থাকলে পর্যায় কিরূপ হবে।
এবার তাহলে চলো আমরা পর্যায় নির্ণয়ের যে ল.সা.গু. পদ্ধতিটা দাঁড় করিয়েছিলাম তার মাধ্যমে ব্যাপারটা প্রমাণ করে ফেলি। 😀
আমি শুধু বিজোড় power এর জন্য sin Θ এরটা প্রমাণ করব, বাকিগুলো প্রমাণের দায়িত্ব তোমাদের। 😀  এখন বলো তো (sin Θ )^n এর পর্যায় কত হবে? এর ডানপাশে যে রাশিগুলো আছে তাদের পর্যায়গুলোর ল.সা.গু. তাই না?মানে 2π/n, 2π/(n – 2), 2π/(n – 4),……………., 2π এর ল.সা.গু. (এখানে, n কিন্তু বিজোড়) । কিন্তু কথা হল, আমরা যদি ল.সা.গু. বের করতে যাই তাহলে তো আমাদের সবগুলো পদের হর জানতে হবে ,সহজ কথায় n এর মান জানতে হবে নাহলে কিভাবে করব?  🙁

চিন্তা নেই।  😀  তবে কাজটা শুরু করার আগে আমরা এ কাজের জন্য আমাদের প্রয়োজনীয় ২ টা শক্তিশালী উপপাদ্য (  😀  ) দেখবো।

*) দুইটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যা সর্বদা সহমৌলিক(অর্থাৎ তাদের মধ্যে ১ ছাড়া আর কোন সাধারণ উৎপাদক নেই)।

প্রমাণঃ
প্রথমে ধরে নেই, দুইটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যা m ও n (m < n) যারা সহমৌলিক নয় অর্থাৎ তাদের মধ্যে একটা সাধারণ উৎপাদক a (a একটি বিজোড় সংখ্যা (কেন?) এবং a > 1) আছে।
function 1
এখন (1)সত্য হতে হলে অবশ্যই n = m+a হতে হবে। কিন্তু m আর n ক্রমিক বলে,
n = m+2 তাহলে a = 2. কিন্তু তা সম্ভব নয়। কারণ  function 1 এবং a বিজোড়। সুতরাং, m আর n এর মধ্যে 1 ছাড়া কোন সাধারণ উৎপাদক থাকতে পারে না। অর্থাৎ m আর n সহমৌলিক।

*) p আর q দুইটি সহমৌলিক সংখ্যা হলে 1/p , 1/q এর ল.সা.গু. 1. অর্থাৎ,
function 1

প্রমাণঃ
ভগ্নাংশ এর ল.সা.গু. বের করার উপায়টা মনে আছে তো? (ঐ যে, প্রথমে ভগ্নাংশ দুইটির হর সমান করতে হয় তারপর নতুন লবগুলোর ল.সা.গু. করতে হয় ) না মনে থাকলে দেখে নাও তোমার পুরনো বই থেকে। 😀 আমি এখানে সংকেত ব্যাবহার করে করছি(একটু ভাব নিচ্ছি আর কি। 😀 )
function 1
(মনে আছে তো,দুইটি সহমৌলিক সংখ্যার ল.সা.গু. হল তাদের গুণফল।) আমরা আমদের উপপাদ্যটা প্রমাণ করে ফেলেছি। 😀

এখন, তোমাদের নিশ্চয়ই মনে আছে, অনেকগুলো সংখ্যার ল.সা.গু. একসাথে বের করা যে কথা, অল্প অল্প করে নিয়ে ল.সা.গু. বের করে তারপর ল.সা.গু. গুলোর ল.সা.গু বের করা একই কথা।
এবার তাহলে আমাদের পাওয়া পর্যায়গুলো নিয়ে জোড়া কর (আচ্ছা, সবগুলো যদি জোড়া না হয়, আরে বোকা কইটাই বা বাকি থাকবে ১ টা। ওই ১ টাকে 1(মানে 2π পর্যায়টা) ধরে বাকিগুলো জোড়া কর তাহলেই তো হয়ে যাচ্ছে।) এবার প্রত্যেক জোড়ার ল.সা.গু. বের কর ২য় উপপাদ্যটার সাহায্য নিয়ে। কি আসছে সবগুলো 2π তাই না? এবার বলো সবগুলো 2π এর ল.সা.গু. কত? 2π । আমরা কিন্তু প্রমাণ করে ফেলেছি। 😀

(জোড় সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রমাণের সময় খেয়াল রেখো পরপর দুইটি জোড় সংখ্যা p আর q হলে   lcm(1/p , 1/q) = 1/2   :D)

এবার তাহলে চলো দেখি power যদি ভগ্নাংশ হয়, তাহলে পর্যায় কেমন হবে। 😀
প্রথমে তাহলে বলো দেখি, কোন রাশির বা সংখ্যার power হিসেবে 1/n আকারের রাশি উপস্থিত থাকলে কি হয়? রাশির বা সংখ্যার মান > 1 হলে power 1/n তার মান কমিয়ে দেয় আর রাশির বা সংখ্যার মান < 1 হলে power 1/n তার মান বাড়িয়ে দেয়। যেমনঃ 2 = 1.414…… , 0.5 = 0.707……।যেহেতু,
function 1
sin(x)এর power 1/n হলে যেখানে n বিজোড় (মানে power 1/3, 1/5, 1/7,….. ……… )হলে,
function 1
power থাকলে যেহেতু মানের x অক্ষ বরাবর অবস্থানের কোন পরিবর্তন হয় না তাই এক্ষেত্রেও পর্যায় পরিবর্তিত হবে না।অর্থাৎ,
(sin(x))^(1/(2m-1)) এর পর্যায় 2π. যেখানে m যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা।

এবার নিচের graph টা দেখো।
function 1
এখন power 1/n যখন n জোড় সংখ্যা (মানে power 1/2, 1/4, 1/6,….. ………)হলে, কিন্তু এবার কি হবে বলো তো? আচ্ছা, function 1
এর কথাই ধরি। তোমরা সবাই জানো, “ ” এর নিচে ঋণাত্মক কিছু থাকলে তা আর বাস্তব থাকে না, অবাস্তব হয়ে যায়। তাহলে বলো তোfunction 1 এর বেলায় কি হবে? এর নিচে sin(x)এর ঋণাত্মক মানগুলো আসবে না, কেবল ধনাত্মক মানগুলো আসবে। sin(x)এর graph এর ঋণাত্মক অংশগুলো গায়েব হয়ে যাবে। 😀 আর ধনাত্মক মানগুলো কেবল বৃদ্ধি পাবে কিন্তু x অক্ষ বরাবর অবস্থানের পরিবর্তন হবে না। তাহলে বলো তো, পর্যায়ের কি কোন পরিবর্তন হবে? না , 2π ছিল 2π ই থাকবে। এবার ফাংশনটার ডোমেন আর সব বাস্তব সংখ্যা নয়। এবার ফাংশনটার ডোমেন হল, function 1যেখানে,  k ∈ function 1 (সকল পূর্ণসংখ্যার সেট) ।

আর এতক্ষণ graph গুলো ছিল continuous এবারের টা হবে discontinuous. এবার নিচের graph টা দেখো।
function 1
তাহলে আমরা ব্যাপারটাকে n এর সব জোড় মানের জন্য টেনে নিতে পারি।
(sin(x))^(1/(2m)) এর পর্যায় 2π. যেখানে m যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা।

এবার তাহলে চলো দেখি যেকোনো মূলদ ভগ্নাংশ power হলে পর্যায় কত হবে।
অর্থাৎ function 1 যেখানে m ও n পরস্পর সহমৌলিক। এক্ষেত্রে, m ও n এর মান ৩ ধরণের হতে পারে:  m ও n উভয়েই বিজোড়, m জোড় ও n বিজোড়, m বিজোড় ও n জোড়।

m ও n যদি উভয়েই বিজোড় হয় তাহলে তো আর কথাই নেই পর্যায় হবে 2π । কিভাবে?
m/n কে m ও 1/n এর সমন্বয়ে লিখতে পারি, পূর্বের আলোচনা অনুসারে উভয় ক্ষেত্রেই পর্যায় 2π তাই এদের সমন্বয়ে গঠিত m/n power হিসেবে থাকলেও পর্যায় হবে 2π । m/n > 1 হলে graph নুইয়ে যেতে থাকবে m/n < 1 graph খাড়া হতে থাকবে। (মানে m আর n এর মধ্যে যার মান বেশি আসলে সে একা থাকলে graph যেরকম আচরণ করত সেরকম করতে থাকবে। জোর যার graph তার এরকম ব্যাপার আর কি। 😀 )

নিচের graph কয়টা দেখলেই পরিষ্কার বুঝতে পারবে।
function 1

function 1

এবার m/n যদি খুব ছোট হতে থাকে, তাহলে graph টা অনেকটা নিচের graph এর মত হতে থাকবে। মানে m/n যতই 0 এর কাছাকাছি যেতে থাকবে, graph টা ততই নিচের graph এর মত হতে থাকবে।
function 1
আচ্ছা, m জোড় আর n বিজোড় হলে কি হবে?
যেহেতু জোড় power function, graph এর প্রকৃতি বদলে দেয়। তাই জোড় পূর্ণসংখ্যা power থাকলে graph যেরূপ আচরণ করত সেরূপ আচরণ করবে। তাই এক্ষেত্রে পর্যায় হবে π. (জোড় সংখ্যার জোর বেশি কি না! তাই ।  😀  ) m/n > 1 হলে ফাংশনের মান কমে যাবে graph নুইয়ে যাবে আর m/n < 1 হলে ফাংশনের মান বাড়বে graph খাড়া হতে থাকবে। তাহলে চলো আর কথা না বাড়িয়ে graph দেখে ফেলি।  😀
function 1

function 1

এবার m/n যদি খুব ছোট হতে থাকে(অর্থাৎ m/n যতই 0 এর কাছাকাছি যেতে থাকবে), তাহলে sin(x) = 0 ছাড়া বাকি সব sin(x)এর মান প্রায় এর 1 সমান হবে, ফলে তখন ফাংশনটির graph দেখতে হবে নিচের মত।
function 1

আবার m/n যদি খুব বড় হতে থাকে(অর্থাৎ m/n যতই অসীম এর কাছাকাছি যেতে থাকবে), তাহলে sin(x) = 1 ছাড়া বাকি সব sin(x)এর মান প্রায় 0 এর সমান হবে, ফলে তখন ফাংশনটির graph দেখতে হবে নিচের মত।
function 1

m বিজোড় আর n জোড় হলে কি হবে?

এক্ষেত্রেও জোড় power, function এর প্রকৃতি নির্ধারণ করবে। অর্থাৎ কেবল 1/n থাকলে এর প্রকৃতি যা হত এখনো তাই হবে। বলো তো এবার তাহলে পর্যায় কত হবে? অবশ্যই 2π.
m/n > 1 হলে ফাংশনের মান কমে যাবে graph নুইয়ে যাবে আর m/n < 1 হলে ফাংশনের মান বাড়বে graph খাড়া হতে থাকবে। তাহলে চলো graph দেখে ফেলি।
function 1

function 1

এবার m/n যদি খুব ছোট হতে থাকে(অর্থাৎ m/n যতই 0 এর কাছাকাছি যেতে থাকবে) এবং আবার m/n যদি খুব বড় হতে থাকে(অর্থাৎ m/n যতই অসীম এর কাছাকাছি যেতে থাকবে) তখন sin(x)এর ফাংশন, graph কেমন হবে চিন্তা করে বের কর। 😀

সবশেষে, মূল কথা হল ফাংশনগুলোর power থাকলে আমাদের প্রথমে base ফাংশনটা বের করতে হবে তার পর্যায়ই হবে ওই ফাংশনের ওই power এর পর্যায়।

এবার তাহলে বলো তো, (sin(3x))^3 , (cos(x/2))^6 এর পর্যায় কত?
উত্তরঃ (sin(3x))^3 এর power 3 তাই base ফাংশন sin(3x) যার পর্যায় 2π/3 অর্থাৎ (sin(3x))^3 এর পর্যায় 2π/3।

graph:
function 1

(cos(x/2))^6 এর power 6 তাই base ফাংশন (cos(x/2))^2 বা (1/2)(1 + cos(x)) যার পর্যায় 2π অর্থাৎ (cos(x/2))^6 এর পর্যায় 2π.

graph:
function 1

এখন, যেহেতু,
function 1
তাহলে sec(x)আর cosec(x) এর সব ধরণের ফাংশনের পর্যায় হবে যথাক্রমে sin(x) আর cos(x) ওই ধরণের ফাংশনের পর্যায়।আশা করি, তোমরা sec(x), cosec(x) এর উপরোক্ত বিষয়গুলোর পর্যায় নির্ণয় করতে পারবে।  😀

আজ তাহলে এ পর্যন্তই, আশা করি বিষয়গুলো বুঝতে পেরেছো। যদি কিছু বুঝতে না পারো তাহলে অবশ্যই জানাবে কিন্তু।  😀