Reading Time: 1 minute

সমস্যা-১: যদি n যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হয় এবং, 1/(x1)+1/(x2)+…+1/(xn)+1/(x1x2…xn)=1 হয়, তাহলে x1, x2,…ও xn এর মান কত?

sho001

সমাধান: প্রথমে আমরা সহজ একটা যোগফলের কথা চিন্তা করি। ধরি, n=3, তাহলে,

sho002

এই সমীকরনটিকে x1x2x3 দ্বারা গুণ করে পাব,

sho003

ধরা যাক, আমরা x1 এর মান বের করতে চাই। এ কারণে আমাদেরকে সমীকরণটাকে একটু সাজিয়ে লিখতে হবে।

sho004

একইভাবে আমরা x2 ও x3 এর মানও বের করে ফেলতে পারব।

sho005

এভাবে আমরা n এর অন্যান্য মানের জন্যও মান বের করার চেষ্টা করতে আরি। আচ্ছা, যদি n=4 হত তাহলে সমাধানগুলো কেমন হত? নিচের সমীকরনগুলো দেখলেই বুঝা যাবে!

sho006

কোনো প্যাটার্ন চোখে পড়ছে? ভালোমত লক্ষ্য করে থাকলে পড়ার কথা। যেই x এর সমাধান বের করতে হবে সেটা বাদে অন্য সব x এর গুণফল উপরে লেখা হয়েছে। সাথে আছে একটা 1 । আর ভগ্নাংশের নিচে আবার সেই গুণফল লেখা হয়েছে। এই গুণফল থেকে আরো অনেক গুণফল বাদ দেয়া হয়েছে। বাদ দেয়া গুনফলগুলোতে যেই x এর সমাধান বের করতে হবে সেটি নেই এবং অন্য যেকোনো একটি x নেই। এখন তাহলে একটা সাধারণ সমীকরণ লিখে ফেলা যাক।

সমাধানের ভগ্নাংশে একটা গুণফল দুইবার ব্যবহৃত হয়। এটাকে আমরা z ধরে নিচ্ছি। ফলে,

sho007

এখানে ∏ চিহ্নটা আসলে কোনো গুণফলকে সহজভাবে লেখার কাজে ব্যবহার করা হয়। এটা নিয়ে সমস্যা হলে Capital Pi notation নিয়ে আরো পড়তে পারেন।

আর ভগ্নাংশের হরের অন্যান্য পদগুলোকে একসাথে w হিসেবে নামান্বিত করলে,

sho008

এখানে Capital-sigma notation ব্যবহৃত হয়েছে। যেহেতু প্রত্যেকটি পদে xi বাদেও অন্য একটি x বাদ পড়ে, তাই প্রত্যেকটি x দ্বারা আলাদা আলাদাভাবে z কে ভাগ করে শেষে সব ভাগফলগুলোকে যোগ করা হয়েছে।

এখন তাহলে আমাদের কাংখিত সমাধানটা লিখে ফেলি,

sho009

সমস্যা-২: মাউন্টেইন ডিউ এর কাঁচের বোতল হাতে নিয়ে মুন দেখল যে স্ট্র-টির 45% লেমোনেডের ভিতর নিমজ্জিত অবস্থায় আছে। এরপর মুন ঐ স্ট্র-টিকে তুলে এনে পানিভর্তি একটি বোতলে ডুবালো। এবারে দেখা গেল যে, 55% অংশ পানিতে নিমজ্জিত হয়ে আছে। তাহলে, লেমোনেডের ঘনত্ব কত?

সমাধান:

d001

প্রথমেই আমাদেরকে আর্কিমিডিসের নীতি মনে করতে হবে। এ নীতি অনুসারে অপসারিত তরলের সমান ওজনের প্লবতা (upthrust) নিমজ্জিত বস্তুর ওপর উপরের দিকে ক্রিয়া করে। আমরা প্লবতার কারণে অনুভূত বলকে B এবং নিমজ্জিত বস্তুর মোট ওজনকে W দ্বারা প্রকাশ করব।

d002

যেহেতু বস্তুটি ভাসতে থাকে তাই এর ওপর ক্রিয়ারত মোট বল শূন্য। তাহলে,

r001

স্ট্র-টির ঘনত্বকে আমরা ρs দ্বারা চিহ্নিত করব। এখন ধরে নেই যে, স্ট্র-টির মোট আয়তন Vs । আর, স্ট্র-টি লেমোনেডের যে পরিমাণ আয়তন অপসারণ করেছে তাকে Vl দ্বারা চিহ্নিত করি। তাহলে,

r002(কারণ, ভর হচ্ছে আয়তন ও ঘনত্বের গুণফল)

যেহেতু, স্ট্র-এর 45% লেমোনেডে ডুবে আছে তাই Vl হবে Vs এর 45% । আর তাই,

r003 ফলে,

r004…(1)

এখন, আমরা পানি ও স্ট্র- এই ব্যাপারটি থেকে আরেকটি সমীকরণ উদ্ধার করার চেষ্টা করব। এক্ষেত্রেও,

r001

পানির ঘনত্ব ρw এবং স্ট্র দ্বারা পানির অপসারিত অংশের আয়তন যদি Vw হয় তাহলে,

r005

এবারে Vw হচ্ছে Vs এর 55% । আর তাই,

r007

r008

(1) সমীকরণে এই মান বসিয়ে দিলে পাব,

r009

বা,

r010

সমস্যা-৩: একটি কক্ষে N জন (N>3) মানুষ আছে। এদের মধ্যে কমপক্ষে একজন সবার সাথে হ্যান্ডশেক করেনি। তাহলে, সবার সাথে হ্যান্ডশেক করেছে এমন মানুষের সংখ্যা সর্বোচ্চ কত হতে পারে?

সমাধান: প্রথমে আমরা সবাইকে A1, A2,… ও AN দ্বারা চিহ্নিত করি। সমস্যায় বলা হয়েছে যে কমপক্ষে একজন সবার সাথে হ্যান্ডশেক করেনি। ধরে নিই যে A1 সবার সাথে হ্যান্ডশেক করেনি। যেহেতু আমাদেরকে ‘সবার সাথে হ্যান্ডশেক করেছে’ এমন মানুষের সর্বোচ্চ  সংখ্যা বের করতে হবে তাই আমাদেরকে A1 সর্বোচ্চ কতগুলো হ্যান্ডশেক করতে পারে তার হিসাব কষতে হবে। ধরে নেই যে সে একজনের সাথে হ্যান্ডশেক করেনি এবং সেই ব্যক্তিটি A2 । তাহলে, বুঝা গেল যে A1 ও A2 সর্বোচ্চ (N−1) জনের সাথে হ্যান্ডশেক করতে পারবে। কিন্তু, A1 ও A2 বাদে বাকি (N−2) জন কিন্তু ঠিকই সবার সাথে হ্যান্ডশেক করতে পারে। তাহলে, সবার সাথে হ্যান্ডশেক করেছে এমন মানুষের সর্বোচ্চ সংখ্যা হতে পারে (N−2) ।

সমস্যা-৪: x+3y+6z=0 এটা কিসের সমীকরণ?
a) সরলরেখা (line);
b) গোলক (sphere);
c) তল (plane)?

সমাধান: 

d003

ত্রিমাত্রিক স্থানাংক ব্যবস্থায় A(1,2,3) বিন্দুটির কথা আমরা চিন্তা করছি। তাহলে,

q003

(সমস্যা হলে ভেক্টরের Ordered set notation দেখে নিতে পার। সহজ কথায় এই ভেক্টরটির X-অক্ষ বরাবর উপাংশ 1, Y বরাবর 2 এবং Z বরাবর 3 ।)

এখন আমরা যেকোনো একটি ভেক্টর P এর কথা চিন্তা করব যেখানে,

q002

এই দুটি ভেক্টরের Dot product আমাদের নিতে হবে।

q004

কিন্তু, বলে দেয়া ছিল যে, x+3y+6z=0 । ফলে,

q005

এখন, আমরা যা লিখতে পারি তা হচ্ছে,

q006

অর্থাৎ, P সবসময়ই OA এর লম্ব হবে। এখন, কোনো একটি ভেক্টরের লম্ব আরেকটি ভেক্টর একটি তল দিয়েই আঁকা সম্ভব।

d003

চিত্রে QRST দ্বারা OA এর লম্ব একটি তল বুঝানো হয়েছে। P ভেক্টরটি এই তলেই অবস্থিত। তার মানে, P এর বিভিন্ন মানের জন্য আমরা একই তলে ভিন্ন ভিন্ন বিন্দু পাব। আর তাই, x+3y+6z=0 সমীকরণটি একটি তলের সমীকরণ।

ATM Jahid Hasan

ATM Jahid Hasan

Little is known and little will be known.
ATM Jahid Hasan
ATM Jahid Hasan
ATM Jahid Hasan

Latest posts by ATM Jahid Hasan (see all)