অগাস্ট দ্বিতীয় সপ্তাহের কুইজের সমাধান

সমস্যা-১: Sheldon Cooper এ সপ্তাহে 50 টি Bloop Jazz কিনল। উদ্দেশ্য- Amy, Bernadette ও Penny কে তা ভাগ করে দেয়া। কিন্তু, এবার Sheldon Cooper কোনো অতিরিক্ত শর্ত আরোপ করল না। (অর্থাৎ, প্রত্যেককে কমপক্ষে একটি Jazz পেতেই হবে- এরূপ কোনো শর্ত নেই। তবে, তাদের তিনজনের প্রাপ্ত Jazz এর সংখ্যার যোগফল 50 হতে হবে।) প্রথমে Bernadette আর Penny এটা মেনে না নিলেও Amy হিসাব করে দেখাল যে, প্রত্যেকের কমপক্ষে একটি Jazz পাওয়ার সম্ভাবনা অনেক বেশি।
বলতে হবে, এ সম্ভাবনা কত?

সমাধান: গত সপ্তাহে আমরা এমন সমস্যার সমাধান করেছিলাম যেখানে বণ্টন এমনভাবে হয়েছিল যাতে প্রত্যকেই কমপক্ষে একটা জিনিস পায়। কিন্তু, এবার এমন কোনো শর্ত নেই। অর্থাৎ, যে কেউ খালি হাতে ঘরে ফিরতেই পারে! এই সমস্যার সমাধান করার আগে আমরা গাণিতিক পদ্ধতিতে আমাদের সমস্যাটাকে প্রকাশ করব।

উপরের সমীকরণটি বুঝাচ্ছে যে, তিনজনের প্রাপ্ত Jazz এর সংখ্যার যোগফল হতে হবে 50 আর প্রত্যেকের কমপক্ষে শুন্যটা থাকা চাই! (ঋণাত্মক সংখ্যা যেন না আসে তাই এ ব্যবস্থা) এই সমীকরণের সমাধান হিসেবে যতগুলো (X,Y,Z) মান পাওয়া যাবে ততভাবে বণ্টন সম্ভব। ধরি, এরকম বণ্টনের উপায় সংখ্যা T । এবারে আসা যাক যদি প্রত্যেকের কমপক্ষে একটা Jazz পাওয়া বাধ্যতামূলক হত তাহলে সমীকরণটা কেমন হত সে ব্যাপারে!

এই সমীকরণের সমাধান হিসেবে আমরা কতগুলো (X,Y,Z) মান পাওয়া যায় তা আমরা আগের সপ্তাহে শিখেছিলাম এবং, এই সমীকরণের সমধান সংখ্যা হবে ₄₉C₂ বা, । তাহলে আমাদের সমস্যার সমাধান হবে,

[কারণ, সম্ভাবনা হচ্ছে কাঙ্ক্ষিত ঘটনসংখ্যা ও সম্ভাব্য সকল ঘটনসংখ্যার অনুপাত।]

সমস্যাটি এখনো পুরোপুরি সমধান করা হয়নি। T এর মান জানার জন্য আমাদের একটা বিশেষ পদ্ধতির সাহায্য নিতে হবে। প্রথমে Sheldon মনে মনে ধরে নিবে যে Amy, Bernadette ও Penny- প্রত্যেককে একটা করে অতিরিক্ত Jazz দেয়া হয়েছে। এতে এটা নিশ্চিত হওয়া যাবে যে কেউ একটার কম Jazz পায়নি। কিন্তু এতে কিন্তু মোট Jazz এর সংখ্যা 3 বেড়ে যাবে। গাণিতিকভাবে নিম্নোক্ত কথাটি আমরা লিখতে পারি।

মানে, X,Y,Z এই তিনটা চলকের সাথেই আমরা 1 যোগ করেছি। ফলে মোট সংখ্যা বেড়ে দাঁড়িয়েছে 53 এবং শর্ত হয়ে গেছে X,Y,Z ≥ 1 । এতে আমাদের সুবিধা হয়েছে অনেক। কারণ এই সমীকরণের সমাধান আগের পদ্ধতিতেই আমরা বের করতে পারব। এখন,

আর তাই,

সমস্যা-২: Mr. ও Mrs. Yocta তাদের বাচ্চার নামকরণ এমনভাবে করতে চান যাতে নামটির মনোগ্রাম আলফাবেটিকাল অর্ডারে থাকে এবং তাতে (অর্থাৎ, মনোগ্রামে) কোনো বর্ণের পুনরাবৃত্তি না ঘটে। শর্ত হচ্ছে যে, নামটি তিন শব্দের হতে হবে এবং শেষ শব্দটি অবশ্যই Yocta হবে।
তাহলে, সম্ভাব্য মনোগ্রামের সংখ্যা কত?
(মনোগ্রাম বলতে কোনো নামের শব্দগুলোর প্রত্যেকটির প্রথম বর্ণ নিয়ে গঠিত সংক্ষিপ্ত রূপকে বুঝায়। যেমন, CPY হচ্ছে Christina Perri Yocta নামটির মনোগ্রাম।)

সমাধান: এই সমস্যাটিকে আমরা আরো সহজ ভাষায় প্রকাশ করব। আমরা তিন বর্ণের শব্দ বানাতে চাই যেখানে শেষ বর্ণটা হবে Y এবং বাকি বর্ণ দুটি হবে A থেকে X এর মধ্যে বেছে নেয়া যেকোনো দুটি আলফাবেট। A থেকে X পর্যন্ত বর্ণ আছে 24 টি। এগুলো থেকে যেকোনো দুটি বর্ণ বাছা যাবে ₂₄C₂ বা, উপায়ে। আর এটাই আমাদের উত্তর। কারণ যেকোনো দুটি বর্ণ বাছার পর এদের আলফাবেটিকাল অর্ডারে কেবলমাত্র একভাবেই সাজানো যায়!

সমস্যা-৩: একটি স্প্রিংয়ের এক প্রান্তে 20 N
এবং আরেক প্রান্তে 40 N বল প্রয়োগ
করলে এর সম্প্রসারণ ও ত্বরণ কত হবে?
(বল দুটি পরস্পর বিপরীতমুখী এবং দেয়া
আছে যে, স্প্রিংটির ভর 3 kg, দৈর্ঘ্য 2 m ও স্প্রিং ধ্রুবক 100 N/m)

সমাধান: সমস্যাটা কনসেপচুয়াল। আমরা যা শিখে এসেছি তা হল কোনো স্প্রিংয়ের এক প্রান্ত দেয়াল বা কোনো দৃঢ় বস্তুর সাথে আটকে রেখে অন্য প্রান্তে একটা নির্দিষ্ট পরিমাণ বল প্রয়োগে কি পরিমাণ প্রসারণ হয় তা। ধরা যাক, এরকম একটা স্প্রিং আমরা নিয়েছি যার একটা প্রান্ত আটকে রেখে অন্য প্রান্তে 20 N বল প্রয়োগ করা হচ্ছে। তাহলে এর প্রসারণ আমরা পাব F=kx (সমীকরণটিতে দিক হিসাব করা হয় নি) এই সমীকরণ থেকে। আমরা দেখতে পাচ্ছি যে বলকে স্প্রিং ধ্রুবক দ্বারা ভাগ করলেই প্রসারণ x অতি সহজেই বের করা যায়। এখন মনে করি একই স্প্রিংটিকে 20 N বল প্রয়োগ করা হচ্ছে দুই প্রান্ত থেকেই। এখন প্রসারণ কত হবে? অনেকেই বলবে এখন F এর মান দ্বিগুণ হয়ে যাবে। কিন্তু, আসলে তা হবে না। কারণ আমরা যখন দেয়ালে স্প্রিংটি আটকে রেখে বল প্রয়োগ করছিলাম তখন দেয়ালটিও স্প্রিং এর ওপর সমান ও বিপরীতমুখী বল প্রয়োগ করছিল। যদি দেয়াল বল প্রয়োগ না করত তবে স্প্রিং এর ত্বরণ থাকত। অর্থাৎ, যেকোনো একপাশ আটকে রেখে F বল প্রয়োগ করা আর দুই পাশ থেকেই F বল প্রয়োগের মধ্যে পার্থক্য নেই।

এখন আসা যাক মূল সমস্যায়। সমস্যাটিতে স্প্রিং এর একপাশে 20 N ও আরেকপাশে 40 N বল দেয়া হচ্ছে। আমরা 40 N বলটিকে দুইটি ভাগে ভাগ করে নিতে পারি। ধরা যাক এই বলটি দুটি 20 N বলের সমষ্টি। তাহলে একটা 20 N বল অপর প্রান্তের বিপরীতমুখী 20 N বলের সাথে মিথষ্ক্রিয়া করবে। এবং এটাই হবে প্রসারণের জন্য প্রয়োগকৃত বল। আর অন্য 20 N বল ত্বরণ ঘটাবে।

তাহলে, এবারে আমরা মানগুলো বের করে ফেলি। প্রসারণের ক্ষেত্রে বল হবে, F=20 N এবং k=100 N/m ।

ফলে, x=F/k=(20 N)/(100 N/m)=0.2 m । আর ত্বরণ হবে, a=F/m=(20 N)/(3 kg)=6.67 m/s² ।

সমস্যা-৪: {A,B,C} সেটটির উপাদানসমূহ ব্যবহার করে কতগুলো 5-letter word বানানো সম্ভব, যদি প্রতিটি word এ সেটের উপাদান তিনটির প্রত্যেকটিই কমপক্ষে একবার থাকা বাধ্যতামূলক হয়?

সমাধান: প্রথমে আমরা কোনো শর্ত না মেনে কতগুলো শব্দ বানানো যায় তা নিয়ে চিন্তা করি। 5-letter word হওয়ায় আমাদের 5 বার যেকোনো একটা letter বেছে নিতে হবে। প্রতিটি অবস্থানের জন্য তিনভাবে আমরা সেটটির উপাদান বাছতে পারব। তাহলে, মোট শব্দ হবে 3×3×3×3×3=3⁵। কিন্তু এই শব্দগুলোর মধ্যে অনেকগুলোই বাদ পড়বে কারণ সেগুলোতে সেটের প্রত্যেকটি উপাদান উপস্থিত নেই।

এখন আমরা এমন শব্দগুলো গণনা করব যেগুলোতে কোনো A নেই। এরকম শব্দের সংখ্যা হবে 2×2×2×2×2=2⁵ । এই গণনা করা শব্দগুলোর মধ্যে BBBBB ও CCCCC আছে। আবার B নেই এমন শব্দের সংখ্যাও 2⁵ । এই B না থাকা শব্দগুলোর মধ্যে AAAAA ও CCCCC আছে। এবং C না থাকা 2⁵ শব্দের মধ্যে AAAAA ও BBBBB আছে। তাহলে তিনটি উপাদান (মানে, A, B ও C) ব্যবহার করা হয়নি এমন শব্দের সংখ্যা (3×2⁵―3)। এখানে 3 বাদ দেয়া হয়েছে কারণ আমরা AAAAA, BBBBB ও CCCCC কে দুইবার করে গণনা করেছিলাম।

তাহলে আমাদের কাঙ্ক্ষিত শব্দের সংখ্যা দাঁড়াচ্ছে, 3⁵ ―(3×2⁵―3)=243―(96―3)=150 ।

সমস্যা-৫: ত্রিভুজ ABC তে AX, BY ও CZ রেখা তিনটি পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, (BX/XC)(CY/YA)(AZ/ZB)=1

সমাধান: এই সমস্যাটা খুব একটা কঠিন নয়। এখানে অনুপাতের সূত্র ব্যবহার করলেই সমাধান পেয়ে যাব আমরা। প্রথমেই আমরা একটা উপপাদ্য মনে করে নিব। (উপপাদ্য না অনুসিদ্ধান্ত তা মনে নেই!) সেটা হচ্ছে, একই উচ্চতাবিশিষ্ট দুটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত তাদের ভূমিদ্বয়ের অনুপাতের সমান। এখন যাওয়া যাক সমাধানে।

প্রথমেই বলে নিচ্ছি- এখানে আমরা ফার্স্ট ব্র্যাকেট দিয়ে ক্ষেত্রফল বুঝাব। মানে (ABC) দ্বারা ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল বুঝানো হবে। তাহলে,