শিরোনাম পড়ে শুরুতেই আমাদের মনে হবে, Calculus এর সাথে “নুড়ী” পাথরের কী সম্পর্ক? প্রশ্ন আসা খুবই স্বাভাবিক, আর এই ক্যালকুলাস এর সাথে নুড়ী পাথরের কী সম্পর্ক এ বিষয়টি পরিষ্কার করতেই আমার এ লেখাটি। 🙂
Let’s Begin our Journey to the realm of Calculus 🙂
Calculus-এর আবিষ্কার নিয়ে অনেক দন্দ্ব আছে , আমরা এই ঝামেলায় না গিয়ে গনিতের এই অসাধারণ বিষয় টা নিয়ে জানা শুরু করি । বই এর ভাষায়,
“খুবই ছোট বিষয় নিয়েই ক্যালকুলাস কাজ করে, যেখানে একটি চলকের সাপেক্ষে অন্য চলক গুলো পরিবর্তিত হয়”
মুসিবত,কি বললো আর কি করতে হবে তার কোনো ধারণাই পেলাম না বলতে গেলে! আমরা এই সব কিতাবি ভাষা বুঝি না , আমরা সোজা মানুষ সোজা ভাবে সকল জিনিস শিখতে চাই। হ্যা,আগে ধারণাটা নিয়ে তারপর কিতাবি ভাষায় মুভ করবো,সবকিছুর পাশাপাশি কিতাবি ভাষাটারও প্রয়োজন আছে,তবে এর আগে ধারণাটাকে স্বচ্ছ না করে নয়!
ক্যালকুলাসঃ এর আভিধানিক অর্থ, “ছোটো / নুড়ি” । মূলত অনেক ছোট জিনিস নিয়েই এর মূল কারবার । যেমন –
ধরি, একটি ফাংশন, f(x) = (x – 2) / (x^2 – 4) ;
Function কী-এ বিষয়ে সাইটে বেশ ভাল কিছু লেখা আছে, পড়ে নিলে ভাল। যাই হোক, টপিকে ফিরে আসি । আমরা সাধারনত যা ফাংশনে করে থাকি, x এর বিভিন্ন value-র জন্য f(x) এর মান বের করি । এখানে ও আমরা তাই করব । চলো, এর Graph টা কেমন হতে পারে তা দেখে আসি ।
গ্রাফিং ক্যালকুলেটর এর জন্য ডেসমস এর জুড়ি নাই! আমরা এটাই ব্যবহার করি। 😀
ফাংশনটি সাধারণ ভাবেই কাজ করে। কিন্তু সবচেয়ে মজার ব্যাপার, লেখটি একটি point বাদে সব পয়েন্ট এ ভ্যালু দেয়। ( x = – 2) এ পয়েন্টে ফাংশনটির কোন value পাওয়া যায় না । কেন? কারণ, এ পয়েন্টটিতে f(x) undefined হয়ে যায়!
( undefined মানে হচ্ছে অসংগায়িত। আর অনির্ণেয় মানে হচ্ছে indeterminate । এখানে undefined হয়েছে,indeterminate নয়। 0/0 , infinity/infinity , 0/infinity , infinity/0 এরা হচ্ছে indeterminate. )
তাহলে, x = -2 point এ কী আমরা কোন মান পাব ও না , কিন্ত ২ এর একদম কাছের কোন পয়েন্ট, -২.০০০০০০০০০০০০০০০০০০০০০০……..১ অথবা – ১.৯৯৯৯৯৯৯৯৯৯৯৯৯৯৯৯৯৯………………………………৯ এই পয়েন্ট গুলোর চেয়ে ও কাছের কোন বিন্দুতে কি কোনও মান পাওয়া যায় না? এ রকম চিন্তা ভাবনা থেকে ই অতি ক্ষুদ্র জিনিস নিয়ে কাজ করা শুরু ।
আমরা সবাই ভাবছি, ক্যালকুলাস এর সাথে এই সব জিনিসের কী সম্পর্ক? আসলে আমরা এখনও ক্যালকুলাস নিয়ে কাজ শুরুই করি নাই। 😀 আমরা এখন বুঝার চেষ্টা করছি, কাছাকাছি বা এমন সব মান নিয়ে কাজ কী, এমন সব মান যে সব মান এ আমাদের ফাংশন ঠিকভাবে কাজ করতে পারে না ! যেমন, এখানে x = -2 বিন্দুতে আমরা কোনো defined ভ্যালু পাইনি। কিন্ত আমি যে পয়েন্ট গুলোর কথা বললাম(আসলে আমি নিজে ও জানি না , কাছের কোনো পয়েন্ট এর কথা বলেছি 😛 ) এ সব পয়েন্ট এ কি কোন ও মান থাকবে না? অবশ্যই থাকবে । কারণ। গনিতের পরিভাষায়, every point is unique, no point can be same. তাই আমরা নিশ্চিত ভাবে বলতে পারি,-2 এর যত কাছে ই নিই না কেন, ফাংশনটির র অবশ্য ই একটি মান থাকবে, কিন্তু সেই মান টি বের করব কীভাবে!
প্রথমে আমি সবাইকে গ্রাফ টি নিজের হাতে আঁকতে অনুরোধ করব। গনিতের যে কোন কিছু ই নিজে না করলে মজা পাওয়া যায় না । তাই সবাই আমরা একটু কষ্ট করে আঁকি।আঁকা যদি হয়ে যায়,তাহলে এবার ক্যাল্কুলটের নিই। আমি যে মানগুলো বলি, একটু ক্যাল্কুলেটর এ বসাই । বেশ মজার ১ টা জিনিস পাবে আশা করি :
x = – 2.1 , f(x) = -10 x = -1.9 ,f(x) = 10
x = -2.01, f(x) = – 100 x = – 1.99,f(x) = 100
x = – 2.00001 ,f(x) = – 100000 x = -1.99999,f(x) = -100000
.
.
.
(-2) এই পয়েন্ট ২ পাশে, (ছোট দিক থেকে – ২.০১ আর বড় দিক থেকে -১.৯৯) এই ২ দিক থেকে এ ফাংশনটির ভ্যালু এক হয়ে যাচ্ছে, তাহলে আমরা বলতে পারি, আমরা যে কোনো দিক থেকে যত (-২) বিন্দুর কাছে আসব, তত একটি, certain value কাছে চলে যাব, এখানে এই মান টি অসীম।
এভাবে আমরা কোন পয়েন্টে এ সীমার মান / Bounding Value/ Limiting Value বের করতে পারি। Limiting Value এ কথাটির মানে হল, আমরা আমদের x এর মান ঐ পয়েন্টের, যত কাছে নিয়ে যাব, ফাংশনটির মান ও একটি নির্দিষ্ট মানের কাছে চলে যাবে, আর এই লিমিটিং ভ্যালুই হল ক্যালকুলাস এর প্রথম ভিত্তি । এটিকে প্রকাশ করা হয়, lim f(x) as x tends to a , মানে আমাদের x এর ভ্যালু a এর যত নিকটে নিব, তখন, f(x) এর ভ্যালু কোন মানের কাছাকাছি যাবে, আমাদের উদাহরণে যেহেতু মান টা কেবল বেড়ে যাচ্ছে, তাই আমরা বলতে পারি, x = -2 বিন্দুতে এই ফাংশনটির লিমিটিং ভ্যালু অসীম!
কিন্তু আমরা যেহেতু গণিত কে ভালবাসি, তাই আরও গভীরে প্রবেশ করতে চাইবো এবং গণিতের মাধ্যমে একটি উপযুক্ত ব্যাখ্যা দাঁর করাতে চাইবো এটাই স্বাভাবিক! আমাদের প্রশ্ন, আমরা কেন, x এর ভ্যালু (-২) এর কাছে নিচ্ছি, কারন আমরা যেটি করতে চাই, -২ পয়েন্টে f(x) এর মান বের করতে চাই, কিন্ত আমরা যেহেতু directly value বসাতে পারছি না, তাই -২ এর যত কাছে নেয়া সম্ভব, তত কাছে নিয়ে গিয়ে এর মান বের করার চেষ্টা করছি, আরেকটি জিনিস আমরা খেয়াল করি, আমরা আমাদের ”পয়েন্ট -২” এর দুই পাশেই মান বসিয়ে দেখছি, কারণটা কী?
কারণ, আমরা বলতে পারি , + এবং – দুই দিক থেকেই, আমরা (-২) পয়েন্ট এর কাছে আসতে পারি, তাই আমরা ২ দিক মিলিয়ে এমন একটি পয়েন্ট নিয়ে কাজ করতে চাচ্ছি, যেই পয়েন্টটি, (-২) এর সবচেয়ে কাছে, আর খুব এ সাধারন (-২) এর কাছের পয়েন্টে ফাংশনের একটি মান ই থাকবে (ফাংশন এর ধর্ম) আর তাত্ত্বিকভাবে আমরা চিন্তা করি, আমরা চাচ্ছি, (-২) এর জন্য f(x) এর একটি মান বের করতে, এখন মান আমরা কিভাবে পেতে পারি ?
আমরা এখন যেটা বুঝতে চাই, limiting value এর গুরুত্ব কী, limiting value দিয়ে আমরা আসলে কী ধারণা পাই? আমরা, বাংলাতে অনেক সময়, (প্রায়) বা ইংরেজি তে approximately, এই, ২ টা টার্ম ব্যবহার করি, এটি দিয়ে আমরা বুঝাতে চাই, আসন্ন মান বা rounding value, যেটি দিয়ে আমরা চিন্তা করি কাছাকাছি কোন মানে আসলে আমরা যে মান বের করেছি ,সেটার জন্য মানের তেমন একটা হেরফের হবে না। আমাদের লিমিটিং ভ্যালুও অনেকটা একই কাজ করে । এটির মাধ্যমে ও আমরা ধারণা করে নিই, আমরা যেই পয়েন্ট এর কাছাকাছি x এর মান ধরছি ( কত কাছে? আমরা এত কাছে যাওয়ার চেষ্টা করছি যে আমরা বলতে পারবো x এর মান প্রায় ঐ মানের সমান, কিন্তু সমান না) ওই মানের জন্য ফাংশনটির মান কোন নির্দিষ্ট মানের দিকে পৌছায়? আর তখন বাংলায় আমরা বুঝি, আমরা x এর মান ঐ পয়েন্ট-এর যত কাছে পৌঁছাবে, ফাংশনটির মান ও আমাদের প্রাপ্ত মানের তত কাছে যাবে । আর যেহেতু আমরা + আর – উভয় দিক থেকেই, ঐ পয়েন্ট এর কাছে আসতে পারি, তাই, আমরা, x এর জন্য f(x) এর মান ২ ভাবে বের করতে পারি, আর এটিকে limit এর ভাষায় লেখা যায়, limiting value of f(x) as x tend to (a+) [ x এর মান a এর কিছু বড় দিক থেকে a এর যত কাছে আসতে পারে] আর limiting value of f(x) as x tends to (a-) [ একই ভাবে a এর কিছুটা কম মান থেকে x এর জন্য a এর যত কাছে আসা যায় ] ।
তাহলে, আমরা বুঝতে পারলাম কোন পয়েন্ট এর জন্য limiting value দুইভাবে কাউন্ট করতে হয়। + আর – দিক থেকে আর আমরা চাচ্ছি, x=a এর সবচেয়ে কাছের কোন বিন্দুর জন্য f(x) এর মান বের করতে।
ফাংশনের ধর্ম অনুযায়ী, একটা বিন্দুর জন্য ফাংশনের কেবল একটি মান-ই থাকবে, আমরা লিমিটিং ভ্যালু পাওয়ার জন্য a এর কাছে আসার চেষ্ট করছি! [ ব্যাপারটা হচ্ছে,কাছে আসতে হবে,কিন্তু লেগে যাওয়া যাবেনা! কিছুটা নিরাপদ দূরত্ব বজায় রাখতে হবে। কারণ লেগে গেলেই বিপদ। ] ,তাহলে সেই অনুযায়ী, তাত্ত্বিকভাবে a এর সবচেয়ে কাছে একটি পয়েন্ট-ই পাওয়া যাবে আর যেহেতু একটা পয়েন্ট এর জন্য ফাংশন এর যেহেতু কেবল ১ টা মানই থাকতে পারে,তাই কোন পয়েন্ট এর ”প্রায়” বা tends to value a+/ a- এর জন্য এই লিমিটিং ভ্যালুকে দুইপাস থেকেই সমান হতে হয়।
[ কঠিন লাগছে? 🙁 , তাহলে এটা চিন্তা করি। আমরা চাচ্ছি, x এর কাছাকাছি a এর মানের জন্য f(x) এর মান বের করতে, কোন মান? যত কাছে পৌছালে ফাংশন এর মান ১ টি নির্দিষ্ট মানের কাছে পৌছে যায়, আর যদি ২ পাশ থেকে এই নির্দিষ্ট মান ২ রকম হয়, তাহলে কী ঐ পয়েন্ট এর জন্য আমরা বলতে পারব a এর যত কাছে যাচ্ছি, f(x) এর একটি নির্দিষ্ট মানের দিকে পৌঁছাতে পেরেছি? নিশ্চয়ই না 😀 তাহলে তখন কীভাবে আমরা বলব যে ”প্রায় a এর সমান” মানের জন্য f(x) এর কোন প্রায় বা লিমিটং মান আছে?]
এবার আরেকটি উদাহারণঃ
১.lim(x^2 – 9)/(x – 3) as [x tend to 3]
সবচেয়ে ভাল হয় এটি গ্রাফ দিয়ে করলে। কিন্তু গ্রাফ ছাড়াও করা যায়! একটু চেষ্টা করে দেখি। আমরা এখানে সরাসরি, x = 3 বসিয়ে বলতাম যে x যখন প্রায় 3 তখন f(x)-এর মান হয়… উপস! আমরা দেখতে পাচ্ছি এখানে ৩ বসালে f(x) undefined, তাহলে ৩ বসানো যাবে না, এজন্য আমাদের আগে একে ৩ এর জন্য defined অবস্থায় নিয়ে আসতে হবে, তাহলে আমরা এটিকে লিখতে পারি,
x2 – 32 = (x+3)(x -3)
⇒ f(x) = ((x+3)(x-3))/(x-3) = x+3
এখানে আমরা যদি 3 বসাই তাহলে f(x) = 6, means , when x tends to 3, f(x) tends to 6; কিছু জিনিস খেয়াল করার মত :
১. লিমিটং মান f(x) for x tends to a and value of f(x) as x = a সমান না বা এক জিনিসও না, কারন প্রথমটা তে x এর মান a এর কাছাকাছি আর দ্বিতীয়টা তে x এর মানই a.
আমাদের উদাহরণে 3 এর জন্য f(x) undefined, কিন্তু 3 এর কাছাকাছি মানের জন্য এর মান 6. অর্থাৎ ডোমেন যদি হয় 3, তাহলে আমরা ফাংশন এর কোনো মান পাব না। কিন্ত 3 এর যত কাছে পৌঁছাতে পারবো, ফাংশন এর মান 6 এর তত কাছে পৌছিয়ে যাবে । আমরা যদিও হিসাব এর জন্য 3 বসিয়ে দিয়েছি। কিন্ত আমরা এখানে বুঝাতে চেয়েছি যখন 3 এর প্রায় সমান তখন ফাংশন এর মান এতো। যদিও অনেকেই ভাবছে প্রথমে বসালে undefined, পরে বসালে defined এটা কীভাবে সম্ভব? 😀 গণিতের মজাই এখানে গণিত কে আমরা বিভিন্ন condition দিয়ে feel করতে পারি, যেমন দেখুন, আমরা, (x – 3) লবে হরে কেটে দিয়েছি, কেন? যদি x = 3 হয় তাহলে তো ০ কে ০ দিয়ে কাটলাম , এটি তো possible না, তাহলে?
বুঝা যাছে, আমরা শুরু থেকেই x->3 ধরেছি, যাতে ০ / ০ না, হয় আর আমরা বাদ দিতে পারি 😀 , আসলে আমরা একদম প্রথমেই 3 এর কাছাকাছি মান নিয়ে কাজ করতে পারতাম কিন্ত এতে আমদের এতো সুন্দর মান না এসে 6 এর কাছাকাছি কোন মান আসতো আর তাকেই ”প্রায়” ধরলেও ৬ এ আসত, আর তাই সুন্দর গাণিতিক হিসাবের জন্য আমরা ১ টি defined position এ নিয়ে এসেছি ৩ এর জন্য আর তারপর প্রায় ৩ বসিয়ে প্রায় মান বের করেছি 😀
তো আমরা ক্যালকুলাস এর মৌলিক ভিত্তি লিমিট বা সীমান্তিক মান সম্পর্কে জানলাম। এই সীমার উপর ভিত্তি করেই ছোট ছোট মান নিয়ে ক্যালকুলাস কাজ করে, যেটা সম্পর্কে আমরা আশা করি পরের দিন জানবো। ততদিন ভাল থাকবে, আরও বেশি গণিতকে ভালবাসবে! আর আজকে আমরা যে জিনিস শিখলাম তা নিয়ে আরও চিন্তা করতে হবে তোমাদের। দুঃখিত,চিন্তার খোঁড়াক দিয়ে যাইনি। তবে নিজেরা চেষ্টা করে নিজেদের জন্য কিছু খোঁড়াক বের করে ফেলো! এতে তোমার ধারণা যেমন পরিষ্কার হবে , ঠিক তেমনি তুমি আরো বেশি জিনিস শিখতে পারবে । আর আমরা তো জানিই,এই চিন্তা থেকেই নতুনের শুরু!
মোটামুটি
অনেক ধন্যবাদ।
অসাধারন
আবার পড়তে হবে, কিছু কিছু জিনিস মাথার উপর দিয়ে, কানের পাশ দিয়ে শাঁই করে চলে গেছে সেগুলো বুঝতে হবে।
regbnb asnytc htpbyrb
купить фитнес резинки фит4ю
резинка для фитнеса розетка
фитнес резинка купить сегодня ктев
набор фитнес резинок киев
фитнес резинка харьков
Here is myy webpage … спорт резинка для ног (project1009827.turbo.site)
Thanks! And thanks for sharing your great posts every week!cialis price at
priligy tablets in india https://salemeds24.wixsite.com/dapoxetine
ivermectin overdose impact https://ivermectin.webbfenix.com/
hydroxychloroquine zinc and azithromycin https://hydroxychloroquine.mlsmalta.com/
what is vidalista used for https://vidalista.mlsmalta.com/
dosage for ivermectin https://ivermectin.mlsmalta.com/
trials of hydroxychloroquine https://hhydroxychloroquine.com/
medications without doctor’s prescription https://medpills.bee-rich.com/
buy hydroxychloroquine 200 mg canada https://hydroxychloroquine.grassfed.us/
hydroxychloroquine news update https://sale.azhydroxychloroquine.com/
plaquenil copay assistance https://hydroxychloroquinee.com/
chloroquine is derived from https://hydroxychloroquine.wisig.org/
tadalafil brand name in india https://cialis.adicbc.com/
tadalafil 60 mg https://cialis.confrancisyalgomas.com/
what is generic cialis https://cialis.mrdgeography.com/
buy hydroxychloroquine online https://hydroxychloroquinex.com/
proxy de
турецкие прокси
прокси http
приватные ip адреса
пркси
https 6
приватные ip адреса
украинские прокси
прокси https
Hi there! This post could not be written much better!
Looking through this post reminds me of my previous roommate!
He constantly kept talking about this. I’ll forward this article to him.
Pretty sure he will have a good read. Thanks for sharing!
pearysyb b9c45beda1 https://coub.com/stories/2625346-chicken-systems-translator-full-crack
taldquab 79a0ff67a5 https://coub.com/stories/2724659-milady-chapter-15-facial-treatments-workbook-answers
vladphil 7383628160 https://coub.com/stories/3055900-__hot__-numarkmixtrackprovirtualdjserialnumber
elidel 7383628160 https://www.cloudschool.org/activities/ahFzfmNsb3Vkc2Nob29sLWFwcHI5CxIEVXNlchiAgID_xLPHCwwLEgZDb3Vyc2UYgIDAwMDstgoMCxIIQWN0aXZpdHkYgIDA0MKBwQoMogEQNTcyODg4NTg4Mjc0ODkyOA
wariham 7383628160 https://coub.com/stories/3109530-hd-online-player-nil-battey-sannata-hindi-movie-1080p-updated
nelacata fe98829e30 https://coub.com/stories/3111703-fs2004-pss-b777-professional-2004-free-download-top
jargia fe98829e30 https://wakelet.com/wake/423uX0raa_CJRf_yQ-0kR
darerm fe98829e30 https://trello.com/c/2MYlB0J6/14-deejaysystem-video-vj2-crack-keygen-serial-209-kaisant
dimiqui fe98829e30 https://trello.com/c/PjP2LVZJ/72-i9300xxugna8-modem-download-for-14-hot
lancdion fe98829e30 https://trello.com/c/yBcEyv2l/30-extra-quality-getdataback-for-ntsf-432-license-keyrar
livibene fe98829e30 https://trello.com/c/LTSgbHZl/23-dr-fone-cracked-crack-toolkit-for-pc-ios-full-version
vilnanc fe98829e30 https://coub.com/stories/3093471-top-carsoft-mercedes-benz-7-6-k-l-com-usb-l
violev fe98829e30 https://wakelet.com/wake/jpF5Aq2u8YT-mk29J0vL-
jacibroo fe98829e30 https://coub.com/stories/2994959-link-mikroc-pro-for-8051-v22-crackzip
feican d868ddde6e https://coub.com/stories/3127930-bible-black-episode-3-remake
shayjami d868ddde6e https://coub.com/stories/3097707-better-color-climax-child-love-torrent-1-111
berlcoc d868ddde6e https://coub.com/stories/2989945-james-bond-skyfall-movie-tamil-dubbed-torrent-20-upd
camlav d868ddde6e https://coub.com/stories/3143293-internet-download-manager-v6-18-build-7-patch-32bit-63bit-avrymarg
ignabry d868ddde6e https://coub.com/stories/3025137-better-force-2-movie-torrent
sammmaca d868ddde6e https://coub.com/stories/2935718-work-wondershare-dr-fone-toolkit-for-android-15-9-11-88-full-crack-full-version
warrvyk d868ddde6e https://coub.com/stories/3061312-chain-kulii-ki-main-kulii-telugu-movie-hd-download-aurlati
hearnech d868ddde6e https://coub.com/stories/2956541-free-cheat-naruto-shinobi-breakdown-pc-all-character
formark d868ddde6e https://coub.com/stories/3007600-keygen-download-corel-draw-x7-wanaemm
nordzim d868ddde6e https://coub.com/stories/3102363-cd-los-numeros-1-de-los-40-principales-2012-descargar-torrent-sandtail
saffvee d868ddde6e https://coub.com/stories/3134634-auto-fx-mystical-suite-2-0-top-cracked
godfgar d868ddde6e https://coub.com/stories/3134072-fix-xforce-keygen-64-bit-fusion-team-2018-keygen
yelber d868ddde6e https://coub.com/stories/3027698-celine-dion-my-love-ultimate-essential-collection-2cd-2008-lossless-rar
cheifern d868ddde6e https://coub.com/stories/3040961-work-las-normas-de-la-casa-de-la-sidra-torrent
bengray b7f02f1a74 https://tiowisdingsoftkris.wixsite.com/tratzatopur/post/cracked-z3ta-latest-license-windows
whysmi b7f02f1a74 https://kyramajuneja.wixsite.com/swapolsiobar/post/32bit-izo-pe-ozone-5-torrent-registration-patch-free-pro-iso-macos
gilcath b7f02f1a74 https://jessika.wixsite.com/vebepale/post/smartsketch-5-full-version-iso-torrent-cracked
madele c0c125f966 https://roavicripeberbert.wixsite.com/icarlearjoy/post/pc-candid-g-poiusgjh-imgsrc-ru-build-download-crack-32-full-version
bramar 4a48e5f205 https://wakelet.com/@discgihopvee519
burgio 4a48e5f205 https://wakelet.com/@granuninaj604
darmadd abc6e5c29d https://coub.com/rokedysgte/stories
wilosi 9ef30a34bc https://coub.com/maimobscrester/stories
schamar 9ef30a34bc https://coub.com/culjaredscom/stories
belvneel 7b17bfd26b https://wakelet.com/wake/Ig4qhsUm-s5YgKp2wbP1H
yitvala 7b17bfd26b https://www.cloudschool.org/activities/ahFzfmNsb3Vkc2Nob29sLWFwcHI5CxIEVXNlchiAgIDfi4T8CgwLEgZDb3Vyc2UYgIDAgN_8nQkMCxIIQWN0aXZpdHkYgIDAoPG9wAoMogEQNTcyODg4NTg4Mjc0ODkyOA
janizabd 7b17bfd26b https://seesaawiki.jp/bestviloro/d/Contoh%20Dongeng%20Dalam%20Bahasa%20Sunda%20Si%20Kancil%20Dan%20Bu%20Formulierung%20Kennenl
janenic 7b17bfd26b https://www.cloudschool.org/activities/ahFzfmNsb3Vkc2Nob29sLWFwcHI5CxIEVXNlchiAgMCAktLwCQwLEgZDb3Vyc2UYgIDAwLTHoAsMCxIIQWN0aXZpdHkYgIDA0PCCtAoMogEQNTcyODg4NTg4Mjc0ODkyOA
thorlaur 7b17bfd26b https://wakelet.com/wake/4yJs015zGs6qhIjepmKtB
kasifinn 7b17bfd26b https://trello.com/c/D5R3e8qG/45-twilight-breaking-dawn-part-2-in-hindi-download-720p-dual-audio-utorrent-amitimpo
sademan 7b17bfd26b https://coub.com/stories/3243737-extra-quality-crack-lectra-modaris-v8r1-expert-version-with-3d-prototypingl
freequar 7b17bfd26b https://trello.com/c/BNU4BKZB/73-fisica-cuantica-eisberg-resnick-solucionario-berpan
ergyurc 7b17bfd26b https://wakelet.com/wake/X2rlPvzCKRTQeUGd9dPcT
reavvinc 7b17bfd26b https://coub.com/stories/3462589-baidu-easy-root-english-apk-free-download-for-android-latest-v2-8-6-verified
gaylauss 7b17bfd26b https://bouardismenme.sokuhou.wiki/d/The%20Babysitter%201995%20Movie%20Download
jenanc 7b17bfd26b https://wakelet.com/wake/0qFhXe8hhL9UPFkiim42i
manlvane 7b17bfd26b https://coub.com/stories/3068294-cinderella-2015-movie-in-hindi-dubbed-free-18-alstjay
rhelate 7b17bfd26b https://coub.com/stories/3396524-senran-kagura-burst-re-newal-download-for-mobile-jailynl
carhein 7b17bfd26b https://wakelet.com/wake/l7rbk_GsMpEaMSnJQHXFq
noelvall 7b17bfd26b https://wakelet.com/wake/uIMo4BNwwe1Fp-eLBPhw_
chridar 7b17bfd26b https://seesaawiki.jp/schadasfolty/d/GFI%2eFAXMaker%2eFor%2eExchange%2eSMTP%20V%2014%2e3%20%28×32%2cx64%29%20Unlimited%20Lice%20Download
jordchu 7b17bfd26b https://seesaawiki.jp/hydsuppcorli/d/Quick%20Image%20Resizer%202%2e7%2e3%20Crack
ellbdore 7b17bfd26b https://trello.com/c/kZ19aFI9/22-zbrush-4r5-keygen-xforce-17-olymmari
deafree 7b17bfd26b https://wakelet.com/wake/zncb58DxVZYjDTTVHAb1o
maurven 7b17bfd26b https://wakelet.com/wake/ucXb-dIPDc4IfpxGtxt4g
frazigf 7b17bfd26b https://wakelet.com/wake/IYIrK3aqBSUCgvDVt356O
yemiflo 7b17bfd26b https://wakelet.com/wake/q_b3VdNawqaSE2qQtjs9Z
binjam 7b17bfd26b https://coub.com/stories/3037584-activation-product-revit-2009-serial-number-666-69696969-request-code-kp51-yg2u-kq7q-rar-guilwhyt
waylflan 7b17bfd26b https://wakelet.com/wake/xu9dCyeQ4958Jb2Ww-cNB
burger 7b17bfd26b https://trello.com/c/SFiXb463/24-tone2-electrax-vsti-work-crack-93
narcfel 7b17bfd26b https://trello.com/c/j21wKUsV/21-fl-slayer-2-crack-download-garexpe
takdar 7b17bfd26b https://coub.com/stories/3244327-hassi-toh-phasi-full-movie-download-in-13-attlvan
derroar 7b17bfd26b https://seesaawiki.jp/renalinpeo/d/Chembiodraw%20Ultra%20130%20Torrent
amosan 7b17bfd26b https://wakelet.com/wake/s01sojky_xwJu55_VJqeZ
carlfra 7b17bfd26b https://coub.com/stories/2937882-free-fineprint-8-00-inc-keygen-zwt-download
genrasm 7b17bfd26b https://coub.com/stories/3131079-full-alen-kar-lako-je-smrsati
kamyily 7b17bfd26b https://wakelet.com/wake/bmLUdJunKuNekbhan9BVS
zevglo 67426dafae https://coub.com/stories/3987894-windows-bandicam-4-4-3-64bit-utorrent-license-file
kasinf 31ebe8ef48 https://wakelet.com/wake/tuHy5qTvO2kzOKxY5afpm
ermjay 00dffbbc3c https://coub.com/stories/4251574-epub-statistical-quality-control-by-m-mahajan-rar-41-ebook-rar-free-torrent
philfra 219d99c93a https://coub.com/stories/4243062-fiatmultiecuscan17-professional-iso-activation-torrent-x32-crack-windows
hilddevo 538a28228e https://coub.com/stories/4373194-vu-me-digital-pho-cracked-64-utorrent-ultimate-free-windows
qunvau 538a28228e https://coub.com/stories/4296953-gta-san-andreas-pc-activator-rar-serial-latest
zenhaw 538a28228e https://coub.com/stories/4341589-rar-barron-s-sat-torrent-mobi-ebook-full-edition
dagmchar 538a28228e https://coub.com/stories/4269302-zip-sugarbytes-effectrix-vst-1-4-rar-build-registration-download-pc-x64-cracked
lergar 538a28228e https://coub.com/stories/4279127-registration-naked-and-afraid-uncensored-dvd-utorrent-software-free
gaybarr 538a28228e https://coub.com/stories/4220948-my-life-s-activation-full-crack-pro-windows-iso
blarege 538a28228e https://coub.com/stories/4310966-harry-potter-and-the-philosophers-s-download-blu-ray-subtitles-torrents-free
cougere 538a28228e https://coub.com/stories/4320288-dinesat-radio-9-windows-x32-nulled-utorrent
olyncat 538a28228e https://coub.com/stories/4330487-32bit-s-ragecrypt-4-patch-key-windows-iso
yalimanl 538a28228e https://coub.com/stories/4260007-registration-star-ccm-x32-rar-ultimate-download
yalimanl 538a28228e https://coub.com/stories/4260007-registration-star-ccm-x32-rar-ultimate-download
ordvol 840076785b https://coub.com/stories/4551247-subtitles-aashiqui-2015-bangla-bluray-avi-dts-dubbed-4k-kickass
yeswann b8d0503c82 https://coub.com/stories/4683576-mehbooba-rip-movies-avi-4k-subtitles-download-720
haichri b8d0503c82 https://coub.com/stories/4686666-full-velan-x64-utorrent-rar-windows-crack-final
piephyl b8d0503c82 https://coub.com/stories/4564811-pro-mar-amor-song-mp3-serial-download-pc-rar-full-version
nanophil b8d0503c82 https://coub.com/stories/4684372-day-dvd-vol-1-26-ita-book-full-epub-zip-utorrent
margal b8d0503c82 https://coub.com/stories/4682300-honda-mt50-ual-mobi-book-download-zip-full
breixand b8d0503c82 https://coub.com/stories/4542176-won-rshare-ppt2flash-cracked-rar-full-pro-key
radlfil 220b534e1b https://www.kaggle.com/diasinciamu/better-need-for-speed-hot-pursuit-2010-hig
yabalat df76b833ed https://www.kaggle.com/niehunsgami/webyogsoftworkssqlyogenterprisev60retailinclkeymak
scangin df76b833ed https://www.kaggle.com/wufiresour/theroad2009720pbrrip264yifymp4
elgcere df76b833ed https://www.kaggle.com/buiseldaro/found-horror-game-11-exe-torrent-full-forolie
kamlelva df76b833ed https://www.kaggle.com/sappridispho/work-caddie-9-dongle-crack
migfea df76b833ed https://www.kaggle.com/daygimandtaf/how-to-fix-gsrld-dll-max-payne-3-er-top
warglad df76b833ed https://www.kaggle.com/conrecalre/introduction-to-meetpoint-faceting-extra-quality
hamnalbi df76b833ed https://www.kaggle.com/tjamomlanre/athentech-perfectly-clear-complete-best
naytxyr df76b833ed https://www.kaggle.com/vepetcgootom/sex-and-submission-allie-haze-d-hot
dagwwil df76b833ed https://www.kaggle.com/ypatmama/smac-2-0-registration-id-keygen-dow-free
rosdesi 89fccdb993 https://www.guilded.gg/xifirfiles-Jets/overview/news/BRwBkvpy
wonnyou 89fccdb993 https://www.guilded.gg/sbotadwinas-Crusaders/overview/news/A6en9Yny
nardedre 89fccdb993 https://www.guilded.gg/galldanjudes-Cougars/overview/news/9RVYmzZy
tadhgil 89fccdb993 https://www.guilded.gg/desningfoters-Bulls/overview/news/Gl52aZE6
mylalm f23d57f842 https://www.guilded.gg/bitsioporas-Hurricanes/overview/news/PyJW7x5R
karrand f23d57f842 https://www.guilded.gg/crosruslimes-Cadets/overview/news/PyJDNWvl
xavijaqw f23d57f842 https://www.guilded.gg/surrparhilfmus-Cowboys/overview/news/16YVrEoy
farben f23d57f842 https://www.guilded.gg/seborlales-Grizzlies/overview/news/PyJDZabl
heydaud f23d57f842 https://www.guilded.gg/gecogpirtfers-Coyotes/overview/news/7R0NkQz6
enroly f23d57f842 https://www.guilded.gg/lebgurusdis-Oilers/overview/news/GRmEvQ1R
nelrans 6be7b61eaf https://trello.com/c/QuqdyfX2/49-x1x-112376-sato-hiromi
sibarn 6be7b61eaf https://trello.com/c/VTFw469P/58-descargar-libro-atados-a-una-estrella-pdf-306golkes-raixeen
vartjai 6be7b61eaf https://trello.com/c/6nbTL7je/61-traktor-le-2-download-hot
padleva 9c0aa8936d https://secure-reaches-19035.herokuapp.com/rudrabhishek-puja-mantra-pdf-download.pdf
trifale 9c0aa8936d https://serene-everglades-77983.herokuapp.com/Crusader–No-Regret-Full-CloneCD-ISO-version-download.pdf
rakwyan 9c0aa8936d https://morning-crag-67356.herokuapp.com/Saajan-Ka-Ghar-720p-dual-audio-movies.pdf
tailau cbbc620305 https://marketplace.visualstudio.com/items?itemName=specinropa.Digi-Loader-1-exe-Download-Added-TOP
roswash cbbc620305 https://marketplace.visualstudio.com/items?itemName=Mylenne.Keygen-Acdsee-17-Serial-Key-vanshen
jamiorn 9ff3f182a5 https://www.kaggle.com/code/morquimoni/free-nintex-workflow-2010-v-2-3-6-0-lice
neragiac 9ff3f182a5 https://www.kaggle.com/code/banmopopen/savage-lands-download-for-pc-ocean-best
birtak 63b95dad73 https://marketplace.visualstudio.com/items?itemName=klubi.EVE-Online-GhostMiner-Suite-Patched-Hack-Tool-Free-FULL
otskjeff 63b95dad73 https://marketplace.visualstudio.com/items?itemName=makgorber.The-Munni-Metric-Pass-2-Dual-Audio-Hindi-Torrent-bentwer
lachance ef2a72b085 https://wakelet.com/wake/I0nNYYzjBfSg_f0TxpSK3
jamcyb ef2a72b085 https://wakelet.com/wake/yuhKBvTO17psraXFtpaRm
whatarni ef2a72b085 https://wakelet.com/wake/BocUxTVWcp3nkKsgDDv-h
ausfai ef2a72b085 https://wakelet.com/wake/4efPXxQgn63pd6yNvI4kG
reatrai a60238a8ce https://coub.com/stories/4894658-ul-2020
willyly a60238a8ce https://coub.com/stories/4897488-aveyond-3-1-lord-of-twilight-2021
verlonn a60238a8ce https://coub.com/stories/4896053-war-of-the-human-tanks-alter-2020
newbmakf a60238a8ce https://coub.com/stories/4883164-blades-of-the-righteous
online sildenafil usa
chaycha baf94a4655 https://trello.com/c/hPROdQl9/44-descargar-3d-u8f89-u9488-u57ce-versi%C3%B3n-pirateada-2022
dejesma baf94a4655 https://trello.com/c/kueStFeI/115-descargar-ghost-stories-versi%C3%B3n-completa-gratuita-2021
xaninju baf94a4655 https://trello.com/c/b6Z0R0za/57-descargar-super-nano-blaster-versi%C3%B3n-pirateada-2022
clarmad baf94a4655 https://coub.com/stories/4934436-descargar-air-traffic-blitz-vr-gratuita
cataopa baf94a4655 https://trello.com/c/aXeAOIbk/50-descargar-aether-field-versi%C3%B3n-pirateada-2021
whyttal baf94a4655 https://coub.com/stories/4925768-descargar-ergastulum-dungeon-nightmares-iii-version-pirateada
darelin baf94a4655 https://coub.com/stories/4954898-descargar-dogs-io-version-completa-gratuita-2021
marbene baf94a4655 https://trello.com/c/m8CxoRkL/76-mr-zig-versi%C3%B3n-completa-gratuita-2021
jusquym fe9c53e484 https://wakelet.com/wake/Zjzh7l75Ro1ZVK_D22Cm8
gonzbert fe9c53e484 https://wakelet.com/wake/q3Bli34x3gGT1W_gTgApE
saliysan fe9c53e484 https://coub.com/stories/4899358-descargar-tap-adventure-time-travel-gratuita
hestyeve f6d93bb6f1 https://coub.com/stories/4963388-key-scarica-il-rar-cracked-build
yeripalo f6d93bb6f1 https://coub.com/stories/5028535-planet-2-lehrerhandbuch-32-software-windows-exe-serial-torrent-activator
elljarr f6d93bb6f1 https://coub.com/stories/5010479-adly-heat-richard-castle-utorrent-rar-ebook-mobi-full-edition
maribry 00291a3f2f https://wakelet.com/wake/SxBce79tuCwGYwY1d-_-s
colharm 00291a3f2f https://www.guilded.gg/knowibareds-Golden-Eagles/overview/news/2l3PomO6
harlaur f50e787ee1 https://wakelet.com/wake/4o19NiftVngFkDernYMid
hargerr f50e787ee1 https://wakelet.com/wake/ZhJTmmf4VHCswzy_QiYkb
emmagian f50e787ee1 https://wakelet.com/wake/Vcy4FT3WnF0qL4mp2R9wQ
dalemmy f50e787ee1 https://wakelet.com/wake/diVS1i65PAP4SZuts9wss
tatigarn f50e787ee1 https://wakelet.com/wake/S4U07S_D39V9_xwlz1pCm
nalver 5052189a2a https://public.flourish.studio/story/1373973/
engdaw 5052189a2a https://wakelet.com/wake/qrJqjAp1SANpRhegexDTX
gilney 5052189a2a https://wakelet.com/wake/XzJjCRr2Ib1yzQ_UhTjES
druliv 5052189a2a https://www.guilded.gg/cragexeceeds-Cowboys/overview/news/4lGjQLLR
phylben 5052189a2a https://wakelet.com/wake/reBhUSa8MkC71TVy5BtBE
syrezeb 5052189a2a https://wakelet.com/wake/E2h7TrCxHqiuNwclTmCLw
anaraym 5052189a2a https://wakelet.com/wake/_-N0EjPC2y5BxvImwlxXp
sadevos 5052189a2a https://wakelet.com/wake/BOl3ldEAEutAi4q5tAGqG
linwasi 5052189a2a https://wakelet.com/wake/cCezD6Td37dRnue1_AOxv
hingreg f1579aacf4 https://wakelet.com/wake/MjKFq44hyBBg34YvPmLP2
elliquan 244d8e59c3 https://wakelet.com/wake/iF13ZgVpTTaA3rCXdTlS2
martkar 244d8e59c3 https://wakelet.com/wake/1XAs7uz9e1XreXAo47oHF
glafed 244d8e59c3 https://wakelet.com/wake/-9kMtUZ5wbDgJhCrhCb0Y
latcher 244d8e59c3 https://lustporitikinge.wixsite.com/gasucupgesch/post/coffeecup-html-editor-13-567-00-crack-activation-code-free
aubmar 244d8e59c3 https://wakelet.com/wake/27Tyw_8pb4up6sPTBuwZF
yesetai fc663c373e https://saintjohnvianneysocials.com/upload/files/2022/05/xYl1Da1ExJKBS1RsBiH6_13_a776090c00396ed6eff2b6278ae53418_file.pdf
elodsant 002eecfc5e https://www.finanzasenforma.com/profile/lorenzolorenzozymonah/profile
abbogera 353a2c1c90 https://inretantwordvibers.wixsite.com/snifinmipass/post/embrilliance-serial-number-crack-adobe
zubgoha 353a2c1c90 https://www.earthswater.org/profile/Prem-Ratan-Dhan-Payo-Full-Movie-English-Sub-Free-Download-April2022/profile
jolche 353a2c1c90 https://wakelet.com/wake/d9EbT0mJibF4e1yRBbulV
imeeer 353a2c1c90 https://sfalconriomupica.wixsite.com/dowslocyri/post/igi-2-high-jump-mod-april-2022
wannmar 7bd55e62be https://www.prekopraga.com/profile/jonynahjonynahrosabelle/profile
waldcar 7bd55e62be https://www.eileenrichardsrecruitment.co.uk/profile/Mohenjo-Daro-Movie-English-Subtitle-Download-For-Movies-rawisalt/profile
salgill 807794c184 https://www.callaborlaw.com/?URL=https://www.ptbonsai.com/profile/jessminahverlee/profile
gardvyt 807794c184 http://innovateindiana.us/__media__/js/netsoltrademark.php?d=https://byzoren16.wixsite.com/websitesivrikose/profile/TuFtp-License-Key-Full/profile
deebink 807794c184 https://www.cassw.net/profile/schneiderdaigel/profile
reebkam 341c3170be http://cse.google.cv/url?sa=i&url=https://desifaceup.in/upload/files/2022/05/vxwjfhegJQcXPE28Lmet_17_276964764c280a19db9970ad31138e15_file.pdf
https://www.google.com.tj/url?q=http://bookmarkwebs.com/upload/files/2022/05/j4YWvSrFy4skhryGH9DS_17_20ff62495020300079b207fe78e1fe26_file.pdf
341c3170be saedned
ExamStreak is a tested and proven study skills platform that enables students to test their knowledge on a daily basis, to engage in lifelong learning, and to achieve a high level of proficiency in all areas of their study. ExamStreak makes exam preparation and study more effective than ever before with powerful features like:
● Engaging quizzes. Connect to the social network of your choice to complete impossible-to-solve crossword puzzles and multiple choice questions.
● High visual http://nvkb.ru/bitrix/rk.php?goto=https://diakyalima.weebly.com
6add127376 wernjone
.
■ Requires Windows XP, Windows Vista, Windows 7, Windows 8, Windows 10, Windows Server 2008, Windows Server 2008 R2, Windows Server 2012, Windows Server 2012 R2, Windows Server 2016, Windows Server 2019
■ Only DOS Bourne type shell text files supported.
■ Create a new text file and a sub program (or edit an existing file and sub program)
(Note: This is not a full code editor)
CNCE https://www.duf.de/?URL=https://molificsi.weebly.com
6add127376 arabisa
The tool is free and completely ad-free, and works quickly on every device, from smartphones to computers.
Disclaimer: Flawesome is a product developed by Peng Company. Learn more about their work here
Caché Reflections Changelog – Version 0.4.1
iOS, Android, Mac and PC everywhere
• Other features – TeamSync, Notepad, Task Launcher, Quick Scan
We would like to thank everybody who has used the application. We https://speachxaragi.weebly.com
6add127376 dredesh
Supported are both fixed drives and removable drives, and file-system conversion is nothing to complain about, either. In some ways, Smart HDD Stretcher is a good fit for a separate wallet accessory.Don’t Google it, mate: that’s the password no one should be able to remember.
After revealing last week that employees at the National Health Service are setting the NHS Wi-Fi password to their child’s name, a man has been saved from typing their password every time they https://www.darussalamchat.com/upload/files/2022/05/fSWft83xJXBmvYBpfPgO_19_41fdc7e783acd180127b96b2f2eb0f8a_file.pdf 1b4b956d05 sophavry