Reading Time: 1 minute

মনে করি আমাদের বলা হল,

x+2y = 5

3x + 7y = 17

এই ২ টা সমীকরনের অজ্ঞাত রাশির মান বের করে দিতে । যেটা সমাধান করা কোন ব্যাপারই না । আমরা প্রতিস্থাপন,অপনয়ন, নির্ণায়ক অনেক অনেক নিয়মে সমাধান করে ফেলতে পারি ।

আচ্ছা এখন বলা হল,

x + y + z = 10

3x + 5y + 7z = 56

11x + 13y + 5z = 86

এই তিনটা সমীকরণ থেকে (x,y,z) এর মান বের করে দিতে । আমরা এটাও কষ্ট করে হলেও যেমনে হোক বার করতে পারব ।

তবে যদি আমাদেরকে ৪,৫,৬,,,,,,,,n এরকম অনেকগুলা ভ্যারিয়েবল এর অনেকগুলা ইকুয়েশন দিয়ে এদের সমাধান বের করতে বলে , তাও আমরা আমাদের প্রতিস্থাপন, নির্ণায়ক, অপসারণ এগুলো দিয়ে করতে পারব । কিন্তু করতে গিয়ে আমাদের দিনফুরিয়ে যাবে ।

কিন্তু এই সমস্যা টিকে আমরা “অপসারণ পদ্ধতি” আর “ম্যাট্রিক্স” ব্যবহার করে অনেক দ্রুতগতিতে আর অনেক সহজে সমাধান করে ফেলতে পারি । যার নাম গাউসিয়ান এলিমিনেশন ।

আমরা সমস্যাটিকে এভাবে মডেলিং করি ।

         1 * x  + 1 * y +  1 * z = 10 ………………(1)

        3 * x  + 5 * y +  7 * z = 56……………..(2)

     11 * x + 13 * y + 5 * z = 86 ……………..(3)

আমরা এখন চাইব , প্রত্যেক সমীকরণে একটা চলক রাখতে তাহলে তো খুব সহজে মান বের করে ফেলতে পারতাম তাই না ?

তাহলে আমরা এখন চাই (2) এবং (3) এই দুইটা সমীকরণে, x কে অপসারণ করতে । কীভাবে করব ?

 

      x  + y + z = 10

0 + (5 – 1 * 3/1) + (7 – 1 * 3/1) = 56 – 10 * (3/1)  ; [2 নং থেকে ১ * ৩ বিয়েগ করে]

0 + (13 – 1 * 11/1) + (5 – 1 * 11/1) = 86 – 10 * 11 / 1  [৩ নং থেকে ১ * ১১ বিয়োগ করে ]

এখন আমরা পাই,

              x + y + z = 10…………………(1)

            0 + 2y + 4z = 26……………….(2)

         0+ 2y – 6z = -24……………….(3)

এভাবে আমরা আমাদের সমীকরণগুলোকে রিডিউস করতে পারলাম । এরপরে আমরা এবার y গুলোকে কমাই ।  আমাদের মূল টার্গেট হল কর্ণ বরাবর চলকগুলোকে রাখা । আর বাকি সমীকরণে চলকগুলোর সহগ শূন্য করে ফেলা । এতে আমরা অনেক সহজে মানগুলো বের করতে পারব । তাহলে আমাদের লক্ষ্য প্রথম সমীকরণে শুধু x,  ২য় সমীকরণে শুধু y আর তৃতীয় সমীকরণে শুধু z রাখা । আর এজন্যই আমরা নিচের সমীকরণ গুলো থেকে x কে ভ্যানিস করেছি । তাহলে এখন যেহেতু আমরা ২ য় সমীকরণে শুধু y এর মান রাখব তাই এর নিচের সবগুলো থেকে y অপসারণ করি ।

এতে যেটা করতে হবে সেটা হলো  (৩) – (২) * ১ করার পরে আমরা পাই ,।

   x + y + z = 10

2y + 4z = 26

                                                                                                 -10z = -50

তো আমরা এখন যেই কাজগুলো করলাম সেগুলো তো ম্যাট্রিক্সে মডেলিং করেও করতে পারতাম । কীভাবে ?

(Are you watching closely ? )

আমাদের সমীকরণগুলোকে একটু লক্ষ্য  করি ।  img_20161105_2212391

সমীকরণগুলোর কেবল একটা পাশে সহগের মান আছে আর বাকি আরেকপাশে সহগগুলোর মান শূন্য । একটু খেয়াল করলেই দেখব ।  পুরো ফরম্যাট টা একটা ট্রাইঅ্যাঙ্গুলার বা ত্রিভুজাকৃতি ফরম্যাট নিয়েছে ।  কারণ নিচের সমীকরণে একটা  উপরেরটাতে তার থেকে আরেকটা বেশি, এর উপরেরটাতে আরো একটা বেশি এভাবে আস্তে আস্তে চলকের সংখ্যা বাড়ছে , আর আস্তে আস্তে এটা একটা ট্রাই অ্যাঙ্গুলার ফরম্যাট এ দাঁড়িয়েছে । এই ট্রাই অ্যাঙ্গুলার ফরম্যাট থেকে আমরা যে কোন ইকুয়েশন সেট  সমাধান করে ফেলতে পারি । কারণ দেখি একদম শেষ যেই সমীকরণ সেখানে চলক একটা, তার মান বের করি । আর তারপরে আমরা এর উপরের সমীকরণে যাই । এখানে ২ টা চলক একটা জানি, আরেকটা বের করি । এখন আমরা ২ টা চলকের মান বের করে ফেলেছি । এরপরে তার উপরেরটা তে যাই এখানে তিনটা চলক । দুইটা জানি এটা ও বার করতে পারি ।

এভাবে নিচে থেকে আমরা আস্তে আস্তে একেকটা চলক বার করে করে সবগুলো চলকের মান বের করতে পারি ।

আমরা এখন যেই কাজটা করলাম সেটাতে অবশ্যই একটা ট্রাইঅ্যাঙ্গুলার ফরম্যাটে প্রেসেন্ট করা লাগছে আর আস্তে আস্তে নিচে থেকে সলভ করতে হচ্ছে । এখন আমরা একটা কথা শুরু তে লিখেছিলাম “আমরা এখন চাইব , প্রত্যেক সমীকরণে একটা চলক রাখতে তাহলে তো খুব সহজে মান বের করে ফেলতে পারতাম তাই না ?”

এটা মানে হচ্ছে প্রতিটা সমীকরণে যদি কেবল একটা চলক থাকত , কর্ণ বরাবর চলকের সহগ গুলো শূন্যব্যতীত অন্য কোন মান থাকত আর বাকি প্রতিটা সমীকরণে বাকি প্রতিটা চলকের সহগের মান শূন্য হত । তাহলে কি আমরা একদম ডাইরেক্টলি সবগুলো মান বের করে ফেলতে পারতাম না ?

মানে এখন, যদি আমি আগের মত ই সহগের গুণ দাঁড়া চলক গুলোকে অপসারণ  করে , প্রতিটা সমীকরণে শুধু কর্ণ বরাবর চলকগুলোকে রাখতাম তাহলে আমরা নিশচয় একদম সরাসরি মানগুলো বের করে ফেলতে পারতাম ।

     5x                                          = 10

                               5y                      =        15

                                                                 -10z =  -50

   তাহলে নিশ্চয় আমরা আরো অনেক সহজে সমীকরণগুলোকে সমাধান করে ফেলতে পারতাম । এই ফরম্যাটে আনার জন্য ও আমাদের কাজ একই । আমরা প্রত্যেকবার একেকটা চলক রেখে বাকিগুলোকে অপসারণ করতে থাকি ।

    তবে মূল স্টেপ এরকমঃ

           আমরা প্রতিটা সমীকরণের ডায়াগনাল বরাবর চলকগুলোকে রাখি । আর বাকিসময় যেই সমীকরণ চলকটা রাখব । তার নিচের আর পরে উপরের সবগুলো সমীকরণে এই চলকের সহগগুলোকে শূন্য করে ফেলি ।

          এরপরে তো শুধু মান বের করতে পারলেই কাজ শেষ ।

ম্যাট্রক্সে মডেলিংঃ 

       এখন সব থেকে ইন্টেরেস্টিং পার্ট । সমস্যাটিকে ম্যাট্রিক্সে মডেলিং করা ।

আমাদের ইকুয়েসশন গুলোকে কি এভাবে লেখা যায় :img_20161105_2244381

                         এখন আমরা নরমালি যেভাবে একটু আগে রিডিউস করেছিলাম সেভাবে কি করতে পারি না ?

যেমন (i তম ম্যাট্রিক্সের k তম কলাম) * নতুন মাল্টিপল থেকে বিয়োগ হবে ( j তম ম্যাট্রিক্সের k  তম  কলাম) আর এই মানটাই (j,k) তম ঘরে বসবে এ। এভাবে বিয়োগ করে করে অথবা যোগ করে করে কি আমরা শুধুমাত্র ডায়াগনালে মান সাজিয়ে বসাতে পারি না ? ঠিক একই কাজগুলো যা আমরা অপসারণ করার সময়ে করেছিলাম এখন ম্যাট্রিক্সে রো কলামের কম্বিনেশন দিয়ে করতে পারব না ? ।

আমরা ঠিক এই কাজগুলোই  করব । অলটাইম ডায়াগনালে মান রেখে তার উপরের আর নিচে সহগগুলোর মান শূন্য করব ।

কিন্তু মাথায় রাখা লাগবে, যেহেতু আমাদের সমীকরণে ডান আর বাম দুই পাশে আছে তাই কাজ করলে দুই পাশেই করতে হবে । মানে বামপাশে যেই রো থেকে যেই রো যেভাবে বিয়োগ হচ্ছে ডানপাশেও ঠিক একই ভাবে করা লাগবে । কর্ণ বরাবর এলিমেন্টগুলোকে বলা হয় পিভট এলিমেন্ট । আমাদের মূল লক্ষ্যই হল পিভটগুলা ঠিক রাখা । আর বাকি সবগুলোকে রিডিউস করা ।

আর এভাবে আমাদের চিরপরিচিত সমীকরণগুলোকে আমরা আমাদের পরিচিত ম্যাট্রিক্স আর অপনয়ন পদ্ধতির ডিফরেন্ট কম্বিনেশন দিয়ে অনেক সহজে আর সিস্টেমেটিক সমাধান করতে পারি ।

গাউসিয়ান এলিমিনেশন সিস্টেম দিয়ে লিনিয়ার ইকুয়েশন সলভ করার নিয়ম টি বেশ অসাধারণ । কারণ এই কনসেপ্ট এ আমরা যে কোন n চলকের সমীকরণ সমাধান করতে পারি । কিন্তু মাথায় রাখতে হবে যদি কখনো কর্ণে পিভটের মান শূন্য হয়ে যায় তাহলে এই সমীকরণ সেটের কোন ইউনিক সমাধান নেই । এখানে তখন কোন প্যারালাল লাইন আছে  যা কোনদিন ছেদ করবে না ।

নিচে আমি গাউসিয়ান এলিমিনেশন দিয়ে n চলকের কোন ইকুয়েশন সলভ করার সি++ পোগ্রাম দিচ্ছি । আশা করি আগে সবাই একবার এটা ইম্পিমেন্ট করার ট্রাই করব । না পারলে নিচের কোড দেখতে পারি ।

কোডঃ http://ideone.com/NRoHxx