Reading Time: 1 minute

সমস্যা-1:

q001

সমাধান: কয়েকটা ব্যাপার আগে ঝালাই দিয়ে নেয়া উচিত। ab আকারের পদের ক্ষেত্রে সাধারণত তিনটি ক্ষেত্রে মান 1 হয়।

  1. যখন b=0 হয়;
  2. যখন a=1 হয়;
  3. যখন a=−1 হয় এবং b জোড় হয়।

প্রথমেই প্রথম কেসটা বিবেচনা করি। এক্ষেত্রে y001 হতে হবে। সমাধান করে পাব,

y001

এবার দ্বিতীয় কেসে আসা যাক। এক্ষেত্রে, y001 হবে। এই সমীকরণ থেকে,

y001

আর, সর্বশেষ কেসে y001 । এই সমীকরণও সমাধান করতে হবে।

y001

এখন আবার x=−3 ও x=−4 কে  পদটিতে বসিয়ে দেখতে হবে এর মান জোড় হয় কিনা!

y001

তার মানে, x=−4 মানটি গ্রহণযোগ্য নয়। ফলে, x এর মান দাঁড়াচ্ছে:

y001

সুতরাং, সব বাস্তব মানসমূহের যোগফল হবে −17 ।

সমস্যা-2: y001 হলে d এর মান কত?

সমাধান: আমরা জানি,

y001

প্রদত্ত সিরিজটাকে এই আকারে রূপান্তর করতে চেষ্টা করি।

y001

অর্থাৎ, d এর মান 3 ।

সমস্যা-3: 3 জন ছেলে ও 4 জন মেয়ে সারিবদ্ধভাবে দাঁড়িয়ে আছে। ধরি, Z হচ্ছে সেসব জায়গার সংখ্যা যেখানে একটি ছেলে ও একটি মেয়ে পাশাপাশি দাঁড়ানো। যেমন, BGGBGBG কম্বিনেশনে Z=5 (B=ছেলে; G=মেয়ে)। Z এর গড় মান নির্ণয় কর। (সম্ভাব্য সব বিন্যাস বিবেচনায় রেখে)

সমাধান: 7 জনের মাঝে জায়গা থাকবে 6 টি। ধরা যাক, আমরা প্রথম জায়গাটি নিয়ে চিন্তা করছি। এই জায়গাটির পাশে বসা মানুষ দুজনের একজনকে ছেলে এবং আরেকজনকে মেয়ে হতে হবে জায়গাটিকে Z হিসেবে গণ্য করার জন্য। প্রথম ও দ্বিতীয়জনকে বাছাই করার কত উপায় আছে? y001 টি। আর একজন ছেলে ও একজন মেয়ে বাছাই করা যাবে y001 টি উপায়ে। তাহলে, প্রথম স্থানটি Z হওয়ার সম্ভাবনা y001 । এভাবে  6 টি জায়গার প্রত্যেকটিরই Z হওয়ার সম্ভাবনা অভিন্ন। আর, এই সম্ভাবনাই মোট Z এর কাঙ্ক্ষিত সংখ্যা। যেহেতু, জায়গা 6 টি তাই Z এর গড় মান দাঁড়াচ্ছে, y001 বা y001 ।

এই সমস্যাটিকে আমরা আরো Generalize করতে পারি। ধরা যাক, মোট n জন আছে যাদের মধ্যে k জন ছেলে এবং বাকি (n-k) জন মেয়ে। তখন, Z এর গড় মানের জন্য আমরা নিম্নরূপ ফর্মুলা পাব,

y001

ATM Jahid Hasan

ATM Jahid Hasan

Little is known and little will be known.
ATM Jahid Hasan
ATM Jahid Hasan
ATM Jahid Hasan

Latest posts by ATM Jahid Hasan (see all)