Reading Time: 1 minute

সমস্যা-1: যদি a, b, c পূর্ণসংখ্যা তিনটি a2+b2=c2 সমীকরণকে সিদ্ধ করে তাহলে দেখাও যে, abc অবশ্যই জোড় হবে।

সমাধান: প্রথমেই যেটা জেনে নিতে হবে তা হচ্ছে, জোড় সংখ্যার বর্গ সবসময় জোড় আর বিজোড় সংখ্যার বর্গ সবসময় বিজোড় হয়।

এখন, 3002 সমীকরণটিতে a ও b এর মানের সাথে c এর মানের কি সম্পর্ক থাকতে পারে তা খুঁজে বের করতে হবে।

চারটি কেস বিবেচনায় আসবে।

  1. a জোড়; b জোড়
  2. a জোড়; b বিজোড়
  3. a বিজোড়; b জোড়
  4. a বিজোড়; b বিজোড়

(মূলত 2 ও 3 নাম্বার কেস একই।)

যদি a ও b দুটিই জোড় হয় তাহলে, a2 ও b2 – এ দুটি সংখ্যাও জোড় হবে। আর দুটি জোড় সংখ্যার যোগফল সবসময় জোড় হয়। অর্থাৎ, c2 ও জোড় হবে। ফলে, c সংখ্যাটিও জোড়। তার মানে, a, b, c – এ তিনটি সংখ্যাই জোড়। তিনটি জোড় সংখ্যার গুণফলও জোড় হয়। তাই, এক্ষেত্রে abc জোড়।

যদি a ও b এর একটি জোড় ও আরেকটি বিজোড় হয় তাহলে a2 ও b2 –এ দুটির মধ্যে একটি জোড় ও আরেকটি বিজোড় হবে। একটি জোড় ও একটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল বিজোড় হয়। আর তাই, c2 ও c বিজোড় হবে।  তাহলে, a, b ও c এর মধ্যে দুইটি বিজোড় ও একটি জোড়। একটি জোড় ও একটি বিজোড়ের গুণফল জোড় হয়। তাই, ab জোড়। আবার, একই যুক্তিতে ab (জোড়) ও c (বিজোড়) এর গুণফল অর্থাৎ, abc ও জোড় হবে।

একটি জোড় ও একটি বিজোড়ের গুণফল জোড় কিভাবে হয় তা নিয়ে মাথা চুলকাচ্ছ?

ধরে নাও, আমাদেরকে 3×4 (জোড় ও বিজোড়ের গুণফল আরকি!) এর মান বের করতে হবে। এই গুণফলকে তুমি দুইভাবে ইন্টারপ্রিট করতে পার। তিনটা 4 এর যোগফল অথবা, চারটা 3 এর যোগফল।

তিনটা 4 এর যোগফল:: (4+4+4) হবে উত্তর। একটা জোড় সংখ্যাকে যতবারই এভাবে যোগ কর না কেন যোগফল জোড়ই আসবে।

চারটা 3 এর যোগফল:: (3+3+3+3) হবে যোগফলের মান। ভালো করে খেয়াল কর। দেখবে যে, 3 গুলোকে জোড়ায় জোড়ায় ভাগ করা যায় (এক্ষেত্রে দুটি জোড়া)। আরো দেখবে যে, প্রত্যেকটি জোড়ার যোগফল দাঁড়াচ্ছে জোড় সংখ্যা। (দুটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল জোড় হয়)

এবারে আসা যাক শেষ কেসে। এক্ষেত্রে a ও b দুটিই বিজোড়। আর তাই, a2 ও b2 সংখ্যা দুটিও বিজোড়। ফলে, c2 এর মান হবে জোড় (কারণ, a2+b2 এর মান জোড়)। তাহলে, a, b, c সংখ্যা তিনটির দুটি বিজোড় আর একটি জোড়। তাহলে, ab বিজোড় এবং c জোড়। সুতরাং, ab ও c এর গুণফল abc জোড়।

অতএব, সবক্ষেত্রেই abc জোড়।

সমস্যা-2: 3003 হলে x এর মান কত?

সমাধান: নিচের সমীকরণগুলো খেয়াল কর।

3004

এটাই উত্তর।

সমস্যা-3: 3005 – প্রদত্ত সমীকরণটির কতগুলো বাস্তব মূল থাকবে?

সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণটিকে একটু ভিন্নভাবে লিখব।

3006

উভয়পক্ষকে 2016x দ্বারা ভাগ করেছি শুধু।

3007

এখন, y1 আর y2 কে গ্রাফে প্লট করলে এরা যেসব জায়গায় পরস্পরকে ছেদ করবে সেইসব বিন্দুই হবে সমাধান। মানে, যতগুলো ছেদবিন্দু থাকবে ঠিক ততগুলোই বাস্তব সমাধান পাওয়া সম্ভব। y2 এর গ্রাফ কেমন হবে তা আমরা জানি। এই কারণে, y1 এর গ্রাফটা কেমন হবে তা জানতে পারলেই আমরা সমাধান পেয়ে যাব।

স্পষ্টতই,

3008

আমরা জানি যে, y=bx আকারের সমীকরণে 0<b<1 হলে গ্রাফটি always decreasing হয়।

3001

Always decreasing হল সেসব গ্রাফ যেগুলোতে –x axis থেকে x axis এর দিকে গেলে y এর মান ক্রমাগত কমতে থাকে। এসব গ্রাফ হয় concave up । তার মানে, y1 সমীকরণটি এমন দুটি গ্রাফের যোগফল। দুটি always decreasing গ্রাফের সমষ্টিতে যে গ্রাফ পাওয়া যায় তাও always decreasing হয়।

needed01

y1 এর গ্রাফটি y axis কে y=2 তে ছেদ করে (কেননা, x=0 হলে, y=2)। x এর মান যত বাড়তে থাকে y1 এর মান 0 এর তত নিকটবর্তী হয় (মানে, 3009 হলে  3010 )।

অন্যদিকে, y2=1 গ্রাফটি হচ্ছে একটি অনুভূমিক সরলরেখা মাত্র যা y=2 আর y=0 এর মাঝে অবস্থিত। এই কারণে, y1 ও y­2 এর গ্রাফ দুটি কেবলমাত্র একটি বিন্দুতেই পরস্পরকে ছেদ করবে। (কারণ, y1 এর গ্রাফ অবিচ্ছিন্ন বলে y=2 থেকে y=0 এর দিকে অগ্রসর হওয়ার সময় অবশ্যই y=1 কে পার করে যেতে হবে।)

needed02

সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণের বাস্তব সমাধানও কেবল একটি হবে।

ATM Jahid Hasan

ATM Jahid Hasan

Little is known and little will be known.
ATM Jahid Hasan
ATM Jahid Hasan
ATM Jahid Hasan

Latest posts by ATM Jahid Hasan (see all)