Reading Time: 1 minute

সমস্যা-1: একটি নক আউট টুর্নামেন্টে n জন অংশগ্রহণ করেছে। নিয়ম হচ্ছে, কোনো একটি ম্যাচে যে হারবে সে টুর্নামেন্ট থেকে বাদ পড়বে। তাহলে, একজন বিজয়ী পাওয়ার জন্য টুর্নামেন্টটিতে কতগুলো ম্যাচের আয়োজন করতে হবে?

সমাধান: অনেকেই হয়তো টুর্নামেন্টটিকে অনেকগুলো রাউন্ডে বিভক্ত চিন্তা করে সমস্যাটির সমাধানের চেষ্টা করবে! তারপর n সংখ্যাটি 2 এর গুণিতক কিনা তা নিয়ে দ্বিধায় পড়ে যাবে! যারা সমস্যাটির সমাধান করতে পেরেছ তাদের অভিনন্দন। আর যারা পার নি তারা নিচের কয়েকটি লাইন পড়।

সহজ একটা কথার উত্তর চাই! একটা ম্যাচে কয়জন প্রতিদ্বন্দ্বী বাদ পড়তে পারে? উত্তর, একজন। আমরা যদি n জন অংশগ্রহণকারী থেকে 1 জন বিজয়ী পেতে চাই তাহলে টুর্নামেন্ট থেকে কতজনকে বাদ দিতে হবে? উত্তর, (n−1) জন। একটা ম্যাচে বাদ পড়ে 1 জন; তাহলে (n−1) জন বাদ পড়বে (n−1) সংখ্যক ম্যাচে। এটাই আমাদের কাঙ্ক্ষিত সমাধান।

সমস্যা-2: e001 এর মান কত? e002

সমাধান: প্রথমেই আমাদের জেনে নিতে হবে Euler’s formula। আমি এখন শুধু Euler’s formula উদ্ধৃত করব এখানে। (প্রমাণ দেয়া আছে সবগুলো সমস্যার সমাধানের পর)

e003

উপরের সমীকরণটিতে e999 বসাও,

e004

তার মানে,

e005

সমস্যা-3:

q001

ABCD একটি বর্গ। A, B, C, D ও O – এই 5 টি বিন্দুর মধ্য থেকে যেকোনো 3 টি নিয়ে কতগুলো সমকোণী ত্রিভুজ বানানো সম্ভব?

সমাধান:

এখানে, প্রদত্ত 5 টি বিন্দু থেকে যেকোনো 3 টি বেছে নিয়ে সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করতে হবে।

এই কাজটি করা সম্ভব d001 বা 10 উপায়ে। কিন্তু, এই 10 উপায়ের দুইটিতে আমরা কোনো সমকোণী ত্রিভুজ পাব না। এই দুটি উপায় হল A, O, C এবং B, O, D ।

সুতরাং, শর্ত মেনে গঠনকৃত মোট সমকোণি ত্রিভুজের সংখ্যা দাঁড়াবে 8 টি।

Euler’s formula::

এই ফর্মুলাটি হচ্ছে,

e003

এই অংশে আমরা Euler’s formula প্রমাণ করার চেষ্টা করব। প্রথমেই ধরি,

d002

Θ এর সাপেক্ষে উপরের সমীকরণটিকে অন্তরীকরণ বা Differentiate করলে পাব,

d003

এখন, সমীকরণটিকে আমরা যোগজীকরণ বা Integrate করব।

d004

C এর মান আমাদের জানতে হবে।

d002

সমীকরণটিতে θ=0 বসালে z=1 পাওয়া যায়। ফলে,

d005

আর তাই,

d006

De Moivre’s theorem টিও Euler’s formula থেকে প্রমাণ করা সম্ভব। De Moivre’s theorem টি হল,

d007

এটা নিজ গরযে প্রমাণ করে নিও!

আর হ্যাঁ, ফিচারড ইমেজে যে ইকুয়েশনটা আছে তাও Euler’s formula থেকে বের করার চেষ্টা কর। 😀

ATM Jahid Hasan

ATM Jahid Hasan

Little is known and little will be known.
ATM Jahid Hasan
ATM Jahid Hasan
ATM Jahid Hasan

Latest posts by ATM Jahid Hasan (see all)