Reading Time: 4 minutes

বহুপদী = বহু(অনেক) পদ আছে যার। মানে যার অনেকগুলা পদ আছে তাই বহুপদী।

আসলে গণিতে, বহুপদী বলতে সেই সমস্ত algebraic expression কে বুঝায় যাতে,
১) এক বা একাধিক term বা পদ থাকে যেগুলো কিছু variable বা চলক এর কোন power এবং কিছু constant বা ধ্রুবকের গুণফল(product) দ্বারা গঠিত।
২) পদগুলোতে চলক এর power সবসময় অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা (non-negative integer) হয়।

যেমনঃ x^2 -5x +6, 2x +3y +9, x^3 -2 এগুলো সবই বহুপদী।
কিন্তু x^(-2) +2 বহুপদী নয়। (কেন?)

বহুপদীতে যার মান পরিবর্তিত হতে পারে তাই বহুপদীটির চলক আর যার মান পরিবর্তিত হতে পারে না তাই ধ্রুবক।
2x^2 -5x +6 এই বহুপদীতে x হল চলক আর 2, 5, 6 এগুলো হল ধ্রুবক।

বহুপদীটির কোন পদের চলকগুলোর power এর যোগফলকে বলা হয় ঐ পদটির degree, maximum degree টিকে বলা হয় বহুপদীটির degree, maximum degree যুক্ত পদটিকে বলা হয় মুখ্যপদ বা leading term, মুখ্যপদের সহগ(coefficient) কে বলে মুখ্যসহগ বা leading coefficient। চলকবর্জিত পদটিকে (অর্থাৎ যেই পদে চলকের power 0 শূন্য) বলে ধ্রুবপদ বা constant term।

2x^2 -5x +6 এই বহুপদীটিতে -5x পদটির degree 1 যেহেতু ১ টাই চলক আর তার power 1। চলকের maximum power 2 অর্থাৎ বহুপদীটির degree 2, মুখ্যপদ 2x^2, মুখ্যসহগ 2, ধ্রুবপদ 6।

বহুপদীকে P(x), A(x), P(x,y), Q(x,y,z),………… (অনেকটা ফাংশনের প্রকাশের মত)এভাবে প্রকাশ করা হয়। এখানে P, A, Q এগুলো বহুপদির নাম আর parenthesis এর ভিতরের x, y, z বহুপদীর চলক নির্দেশ করে।

বহুপদীতে যেহেতু এক বা একাধিক চলক থাকতে পারে। একটা চলক থাকলে সেটা এক চলকের বহুপদী, দুই চলক থাকলে সেটা দুই চলকের বহুপদী , …… এরূপ।
এক চলকের বহুপদীর সাধারণ প্রকাশ করা হয় এভাবেঃ

poly 1
এর প্রতিটি পদকে প্রকাশ করা হয় দ্বারাpoly 2। পুরো বহুপদীটাকে অনেক সময় summation notation দিয়ে এভাবেও লিখা হয়:    poly 3

poly 4দুই চলকের বহুপদীর প্রতিটি পদকে আকারে প্রকাশ করা হয় যেখানে পদটির degree হল (i+j)। এভাবে অধিক চলকের পদগুলোকেও একইভাবে প্রকাশ করা যায়। বহুপদীকে চলকের power এর মানের ঊর্ধ্বক্রম থেকে অধঃক্রম অনুসারে সাজালে সেটাকে বলা হয় আদর্শ বহুপদী।

poly 4  –  এরূপ সমীকরণ(equation) কে বলা হয় বহুপদী সমীকরণ।

*) দুই বা ততোধিক বহুপদীর যোগফল ও গুণফল বহুপদী। যেমনঃ P(x)= x^2 আর Q(x) = x-2 তাহলে P(x)+ Q(x) = x^2 + x –2 আবার P(x).Q(x) = (x^2)(x-2) = x^3 -2x এগুলো প্রত্যেকেই বহুপদী।

*) দুই বা ততোধিক বহুপদীর যোগ ও গুণ commutative law, associative law মেনে চলে। P(x), Q(x), R(x) বহুপদী হলে,
Commutative law:
P(x)+Q(x)= Q(x)+P(x),   P(x)Q(x) = Q(x)P(x)
Associative Law:
(P(x)+Q(x))+R(x)= P(x)+(Q(x)+R(x)),
(P(x).Q(x)).R(x)= P(x).(Q(x).R(x))

*)দুইটি বহুপদীর composition ও বহুপদী। P(x) ও Q(x) দুইটি বহুপদী হলে, P(Q(x)), Q(P(x)) ও বহুপদী। যেমনঃ ধরো, P(x)= x^2 আর Q(x) = x-2 তাহলে,
P(Q(x)) = (x-2)^2 = x^2 – 4x + 4 আবার Q(P(x))= x^2 – 2 এগুলো প্রত্যেকেই বহুপদী।

*) P(x) কে যদি D(x) দ্বারা ভাগ করা হয় আর এতে যদি Q(x) ভাগফল আর R(x) ভাগশেষ থাকে অর্থাৎ P(x) ভাজ্য, D(x)ভাজক, Q(x) ভাগফল, R(x) ভাগশেষ হয় তাহলে, P(x) = D(x).Q(x) + R(x) এবং 1) Q(x) এর degree = P(x) এর degree – D(x) এর degree, 2) R(x) এর degree < D(x) এর degree।
কি কঠিন হয়ে গেল? 🙁 একটা উদাহারণ দেখি চলো!  😀

ধরি, P(x) = x^2 -5x +8 , D(x)= x-2 তাহলে, P(x)/D(x) = (x^2 -5x +8)/(x-2)
poly 4
অতএব, Q(x) = x-3 আর R(x) = 2,
এখন P(x) এর degree 2, D(x) এর degree 1.
Q(x) এর degree 1 বা 2-1 বা P(x) এর degree – D(x) এর degree
আবার, R(x) এর degree 0 < D(x) এর degree (1).

*) দুইটি বহুপদী যদি সমান হয়, তাহলে তাদের একই power যুক্ত চলকের সহগগুলো সমান হবে।
যেমনঃ P(x) = ax^2 + bx + c আর Q(x) = 2x^2 + 5 এবং P(x) = Q(x) হলে অর্থাৎ ax^2 + bx + c = 2x^2 + 5 হলে a = 2, b = 0, c = 5 হবে।

*) কোন বহুপদীর প্রত্যেক পদের degree যদি একই হয় তাহলে সেই বহুপদীকে আমরা বলি homogeneous polynomial.
যেমনঃ P(x, y) = x^2 +2xy +5y^2 একটি homogeneous polynomial যার প্রত্যেক পদের degree 2 ।

আমরা এতক্ষণ বহুপদী কি জনলাম।

এবার চলো বহুপদী সম্পর্কিত কিছু গুরুত্বপূর্ণ theorem দেখি।

আচ্ছা, P(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 9 কে (x-3) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
(তোমরা উপরের দেখানো পদ্ধতিতে ভাগ করে দেখতে পারো। 😀 )

P(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 9
= x^3 – 6x^2 + 11x – 6 – 3
= (x-1)(x-2)(x-3) – 3
= (x-1)(x-2)(x-3) + (-3),
যেহেতু ডানের ১ম পদটি (x-3) দ্বারা বিভাজ্য তাহলে ভাগশেষ হবে (-3)
আবার P(3) = (3-1)(3-2)(3-3) + (-3) = -3
তাহলে আমরা বলতে পারি, P(x) কে (x-3) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে P(3).

তাহলে চলো উপপাদ্যটা প্রমাণ করে ফেলা যাক।

*) Remainder theorem(ভাগশেষ উপপাদ্য):
“ P(x) বহুপদীটিকে (x-a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে P(a)।”

প্রমাণঃ
ধরি, P(x) কে (x-a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল(quotient) হয় Q(x)( Q(x)এর degree, P(x) এর degree থেকে 1 কম) আর ভাগশেষ(remainder) হয় R।

(P(x) – R) / (x-a) = Q(x)
বা, P(x) = (x-a)Q(x) + R
এখন, P(a) = (a-a)Q(a) + R
সুতরাং, P(a) = R
অর্থাৎ ভাগশেষ P(a)। (প্রমাণিত)

আচ্ছা, এবার বলো (x-2), P(x) = x^2 – 5x + 6 এর উৎপাদক কি না?
প্রথমে ছোটবেলায় জানা উৎপাদকের সংজ্ঞাটা মনে করো দেখি। 3, 6এর একটি উৎপাদক কারণ 6, 3 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।
তাহলে P(x) = x^2 – 5x + 6 = (x-2)(x-3) অর্থাৎ P(x), (x-2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য তার মানে (x-2), P(x) এর একটি উৎপাদক।

এবার তাহলে প্রমাণ করে ফেলা যাক।  😀

*) Factor theorem(উৎপাদক উপপাদ্য):
“ (x-a), P(x) বহুপদীটির একটি উৎপাদক হবে যদিও কেবল যদি P(a) = 0 হয়।”

প্রমাণঃ
(x-a), P(x) এর একটি উৎপাদক অর্থাৎ P(x), (x-a) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য মানে ভাগ করলে ভাগশেষ হবে 0 । ভাগশেষ উপপাদ্য থেকে, আমরা পাই ভাগশেষ P(a)। সুতরাং, P(a) = 0.
এবার ধর তোমাকে বলেই দিলাম P(x) = x^3 – x^2 + 9x -9 এর একটি মূল x= -3i ।তাহলে অপর মূলগুলো বের করো।
আমরা দেখতেই পাচ্ছি (x-1) ও P(x) এর একটি উৎপাদক তার মানে x=1 ও P(x) এর একটি মূল ধরি ৩য় মূলটি x= k অর্থাৎ ৩য় উৎপাদকটি (x-k) যেখানে k বাস্তব সংখ্যা।
P(x) = (x-1)(x+3i)(x-k) = x^3 – (k+1-3i)x^2 + (k-3ik-3i)x + 3ik
তাহলে k+1-3i = 1, k-3ik-3i = 9, 3ik = -9. কিন্তু এটি সম্ভব নয় কারণ আমরা ধরেছি k বাস্তব। তার মানে k বাস্তব হতে পারে না। তাহলে তিনটি সম্পর্কের যেকোনোটি থেকে আমরা পাই k = 3i . 3i আর -3i পরস্পরের অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা।
অর্থাৎ,
P(x) = x^3 – x^2 + 9x -9
= (x-1)(x^2 + 9)
= (x-1)(x^2 – (3i)^2)
= (x-1)(x+3i)(x-3i)
অর্থাৎ, P(x) এর মূলগুলো -3i, 1, 3i
আমরা তাহলে বলতে পারি বহুপদীর সহগগুলো যদি বাস্তব হয় এবং বহুপদীটির যদি একটি জটিল রাশি মূল হিসেবে থাকে, তাহলে তার অনুবন্ধী জটিল রাশিটিও মূল হিসেবে থাকবে।

এবার তাহলে প্রমাণের পালা।  😀

)“যে বহুপদী সমীকরণের সহগগুলো বাস্তব, তাতে জটিল মূলগুলো অনুবন্ধী (conjugate) আকারে থাকে। (মানে একটা জটিল রাশি মূল হলে তার অনুবন্ধী জটিল রাশিটিও মূল হবে)”
প্রমাণঃ
ধরি, poly 4একটি এক চলকের বহুপদী যার সহগগুলো বাস্তব এবং এর একটি মূল z = a+ib দেখাতে হবে যে, z
= a-ib ও এর একটি মূল। (এখানে * অনুবন্ধী নির্দেশক।)

poly 4। এখন, আমরা জানি,
(z1).(z2) = (z1.z2)* (ব্যাখ্যা পরিশিষ্ট অংশে) এবং k = k*, যেখানে k বাস্তব সংখ্যা।

k.z = k(a+ib)=ka+ikb
k.z* = k(a-ib) = ka-ikb = (kz)*

poly 4
বা, poly 4
এখন, আমরা জানি, z1* + z2* = (z1+z2)* (ব্যাখ্যা পরিশিষ্ট অংশে)
সুতরাং, P(z) = (P(z))
অর্থাৎ, P(z) = (0) = 0
অতএব, z* ও P(z) এর একটি মূল হবে। (প্রমাণিত)

এবার তাহলে বলো, P(x)= 2x^3 + x^2 -4x -2 এর একটি মূল √2 বাকিগুলো কি কি?

আমরা দেখতেই পাচ্ছি (2x+1) ও P(x) এর একটি উৎপাদক তার মানে x= -1/2 ও P(x) এর একটি মূল ধরি ৩য় মূলটি x= k অর্থাৎ ৩য় উৎপাদকটি (x-k) যেখানে k মূলদ সংখ্যা।
P(x) = (2x+1)(x-√2)(x-k) = 2x^3 + (1-2k-2√2)x^2 – (k-2k√2+ √2)x + k√2
তাহলে 1-2k-2√2= 1, k-2k√2+ √2= 4, k√2 = -2. কিন্তু এটি সম্ভব নয় কারণ আমরা ধরেছি k মূলদ। তার মানে k মূলদ হতে পারে না। তাহলে তিনটি সম্পর্কের যেকোনোটি থেকে আমরা পাই k = -√2 . √2 আর -√2 পরস্পরের অনুবন্ধী অমূলদ সংখ্যা।

P(x)= 2x^3 + x^2 -4x -2
=(2x+1)(x^2 – 2)
=(2x+1)(x^2 – (√2)^2)
=(2x+1)(x-√2)(x+√2)
অর্থাৎ, P(x) এর মূলগুলো -1/2, √2, -√2
আমরা তাহলে বলতে পারি বহুপদীর সহগগুলো যদি মূলদ হয় এবং বহুপদীটির যদি একটি অমূলদ রাশি মূল হিসেবে থাকে, তাহলে তার অনুবন্ধী অমূলদ রাশিটিও মূল হিসেবে থাকবে।

তাহলে প্রমাণের কাজটা সেরে ফেলা যাক।  😀

*)“যে বহুপদী সমীকরণের সহগগুলো মূলদ, তাতে অমূলদ মূলগুলো অনুবন্ধী (conjugate) আকারে থাকে। (মানে a+√b আকারের একটা অমূলদ রাশি মূল হলে তার অনুবন্ধী অমূলদ রাশিটি a-√b ও মূল হবে, যেখানে a ও b মূলদ)”

প্রমাণঃ (তোমরা উপরের মত করে প্রমাণ করে ফেলার চেষ্টা করো। আমরা ততক্ষণে অন্যভাবে প্রমাণ করার চেষ্টা করি।  😀  )

(x- (a+ √ b))(x- (a- √b))
= x^2 – (a+ √b + a-√b )x + (a+ √ b).(a- √b)
= x^2 – 2ax + a^2 – b
= (x-a)^2 – b

এখন, ধরি , P(x)(যার সহগগুলো মূলদ এবং যার একটি মূল (a+ √ b)) কে ((x-a)^2 – b) দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল থাকে Q(x) আর ভাগশেষ থাকে r(x)= cx+d । অর্থাৎ

P(x) = ((x-a)^2 – b).Q(x) + r(x)
বা, P(x) = ((x-a)^2 – b).Q(x) + (cx+d)

এখন, P(a+ √ b) = 0 . Q(a+ √ b) + c.(a+ √ b) + d
a+ √ b যেহেতু একটি মূল তাই, P(a+ √ b) = 0
সুতরাং, ca + c√ b + d = 0
অতএব, ca+d = 0 এবং c√ b = 0
যেহেতু a =/= 0 এবং b =/= 0 সেহেতু c=0, d=0 অর্থাৎ, r(x) = 0
সুতরাং, P(x) , ((x-a)^2 – b) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।
অতএব, (a- √b) ও P(x) এর একটি মূল। (প্রমাণিত)

(জটিল অনুবন্ধী মূলের ব্যাপারটাও এভাবে প্রমাণ করার চেষ্টা করো।  😀  )

এখন, P(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6 এই বহুপদীর degree 3 .আচ্ছা, এবার বলো দেখি এর কয়টি মূল আছে?
P(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6
= (x-1)(x-2)(x-3)
P(x) এর মূলগুলো 1, 2, 3 . অর্থাৎ P(x) এর 3 টি মূল আছে।

আবার, ধরো P(x)= x^3 – x^2 + 9x -9
=(x-1)(x+3i)(x-3i)
এই বহুপদীর degree 3 এরও কিন্তু 3 টি মূলই আছে।

তাহলে, আমরা বলতে পারি কোন বহুপদীর degree যত তার ঠিক ততটিই মূল আছে।

তাহলে, চলো আর দেরি না করি।  😀

*)“কোন বহুপদী সমীকরণের degree n হলে তাতে n সংখ্যক মূল থাকবে।”

প্রমাণঃ ধরি, x1, x2, x3, ….., xn এগুলো  poly 4 = 0
এই বহুপদী সমীকরণের মূল এবং এদের কোনটিই সমান নয়। আরও মনে করি,  poly 4ও P(x) এর একটি মূল তাহলে poly 4হবে।

x1, P(x)= 0 এর একটি মূল তাই উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে, P(x)= (x-x1).Q1(x) যেখানে Q1(x) এর degree n-1 আর মুখ্যসহগ a_n. যেহেতু P(x)= 0 সুতরাং Q1(x)=0 (x =/= x1 এর জন্য) সমীকরণেরও একটা মূল আছে যদি তা x2 হয় তাহলে Q1(x)=(x-x2).Q2(x) যেখানে Q1(x) এর degree n-2 আর মুখ্যসহগ a_n. অর্থাৎ, P(x)= (x-x1)(x-x2)Q2(x) একইভাবে, n সংখ্যকবার পর আমরা পাই,
P(x) = poly 4
তাহলে,poly 4হবে। কিন্তু এটি সম্ভব নয় কারণ আমরা ধরেই নিয়েছি কোন মূল সমান নয় আবার আমরা জানি, a_n =/= 0 তাহলে , P(x) এর মূল হতে পারে না। অর্থাৎ কোন বহুপদীর degree n হলে তাতে n সংখ্যক মূল থাকবে।
poly 4, P(x) এর মূল হলে আমরা দেখতেই পাই, P(x)এর degree হয় n+1 কিন্তু P(x) এর degree n .এভাবেও বলা যায়  poly 4 , P(x)এর মূল হতে পারে না।)

proof by induction:
n = 0 এর জন্য P(x)= a_0 = 0 কোন অশুন্য ধ্রুবক a_0এর জন্য এমন কোন সমাধান নেই। তার মানে P(x) এর 0 টি মূল আছে।
n = 1 এর জন্য P(x)= a_1 . x + a_0 = 0 বা x = -(a_0/a_1)তার মানে
P(x)এর 1 টি মূল আছে।
এখন ধরি, n = m এর জন্য P(x) এর degree m আর তার m টি মূল আছে।
n = m+1 হলে P(x) এর degree m+1 ,আমরা বলতে পারি, P(x) এর অন্তত একটি মূল থাকবেই, যদি তা x1 হয় তাহলে, P(x)= (x-x1)Q(x) কিন্তু Q(x) এর degree m তাহলে আমাদের আরোহ ধারণা অনুসারে, Q(x) এর m সংখ্যক মূল থাকবে। তাহলে, P(x) এর অবশ্যই m+1 সংখ্যক মূল থাকবে। (প্রমাণিত)
(বি.দ্র. এই উপপাদ্যটিকে বলা হয় fundamental theorem of algebra.)

এখন, ধরো বললাম P(x) একটি monic polynomial (মানে হল যেই polynomial এর মুখ্যসহগ 1)যার মূলগুলো 0, 2, -3. তাহলে আমরা লিখতে পারি, P(x)= x(x-2)(x+3) = (x^2 -2x)(x+3) = x^3 –2x^2 +3x^2 -6x = x^3 +x^2 -6x. আমরা দেখতে পাচ্ছি, সহগগুলো মূলগুলো থেকে আসছে। তার মানে আমরা বলতে পারি, বহুপদীর সহগগুলোর সাথে মূলগুলোর একটি সম্পর্ক আছে। আমরা তাহলে P(x) কে এভাবে লিখি,
P(x)= (x-0)(x-2)(x+(-3)) = (x^2 –(0+2)x +0.2)(x+(-3))
= x^3 –(0+2+(-3))x^2 + (0.2+0.(-3)+2.(-3))x – 0.2.(-3)

আমরা মূলগুলোর সাথে সহগগুলোর দারুণ একটা সম্পর্ক পেয়ে গেলাম। এই সম্পর্কটা vieta নামের একজন গণিতবিদ প্রথম প্রমাণ করেছিলেন।

*)Vieta’s formula
বিবৃতিঃ

poly 4যদি একটি বহুপদী হয় যার সহগগুলো এবং মূলগুলো বাস্তব বা জটিল সংখ্যা, তাহলে বহুপদীটির মূল আর সহগগুলোকে নিম্নরূপে সম্পর্কিত করা যায়,
poly 4

প্রমাণঃpoly 4 = 0 এ বহুপদী সমীকরণের মূলগুলো x1, x2, x3, ……, xn হলে আমরা লিখতে পারি,

poly 4
poly 4

উভয়পক্ষ থেকে x এর বিভিন্ন power এর সহগ সমীকৃত করে,
poly 4 , poly 4, ……….. ,poly 4

অতএব,poly 4 ,poly 4,……..,poly 4। এটাই Vieta’s formula।

*)“কোন বহুপদীর সহগগুলোর যোগফল শুন্য হলে তার একটি উৎপাদক (x-1)।”
প্রমাণঃ
P(x) বহুপদী হলে, P(1) এর মান হবে সহগগুলোর যোগফলের সমান অর্থাৎ 0 ।অতএব, P(1)= 0 তার মানে (x-1), P(x) এর একটি উৎপাদক। (প্রমাণিত)

*) “কোন বহুপদীর সহগগুলো পূর্ণসংখ্যা হলে এবং (x-k) এর একটি উৎপাদক হলে,
i)যদি k পূর্ণসংখ্যা হয় তাহলে k, ধ্রুবপদের একটি উৎপাদক।
ii)যদি k = p/q আকারের মূলদ সংখ্যা হয়(যেখানে p,q সহমৌলিক), তাহলে p ধ্রুবপদের উৎপাদক আর q মুখ্যসহগের উৎপাদক।”

মানে এর অর্থ হল, P(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6 এর মূলগুলো অবশ্যই -6 এর উৎপাদক হবে।
আবার P(x) = 18x^3 + 15x^2 -x – 2 এর মূলগুলোর লব অবশ্যই -2 এর উৎপাদক আর হর অবশ্যই 18 এর উৎপাদক হবে।

(আমি আর এটা প্রমাণ করলাম না, তোমরা নিজেরা চেষ্টা করো, চেষ্টা করলেই পারবে। 😀 )

বহুপদীর লেখচিত্র (graph) :
বহুপদীর graph সবসময় অবিচ্ছিন্ন বা continuous হয় কারণ যেকোনো বহুপদী তার চলকের যেকোনো মান দ্বারা সিদ্ধ (boiled  😀 ) হয়। মানে চলকের যেকোনো মানের জন্য বহুপদীর একটা মান পাওয়া যায়। আমরা এখানে এক চলকের বহুপদীর কিছু graph দেখবো।

P(x) = x^2 – 4
poly 4

degree 2, মূল 2 টি , x অক্ষকে 2 টি বিন্দুতে ছেদ করে অর্থাৎ মূলগুলো বাস্তব। graph এর ধরণ পরাবৃত্তাকার।

P(x) = x^2 + 1
poly 4
degree 2, মূল 2 টি , x অক্ষকে কোন বিন্দুতে ছেদ করে না অর্থাৎ কোন বাস্তব মূল নেই ,মূলগুলো জটিল অনুবন্ধী। graph এর ধরণ পরাবৃত্তাকার।

P(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6
poly 4
degree 3, মূল 3 টি , x অক্ষকে 3 টি বিন্দুতে ছেদ করে অর্থাৎ মূলগুলো বাস্তব।

P(x) = x^3 -2x^2
poly 4
degree 3, মূল 3 টি , x অক্ষকে 1 টি বিন্দুতে ছেদ আর 1 টি বিন্দুতে স্পর্শ করে অর্থাৎ মূলগুলো বাস্তব তবে 2 টি মূল সমান(যেখানে স্পর্শ করেছে)।

P(x) = x^3 -x^2 +x -1
poly 4
degree 3, মূল 3 টি , x অক্ষকে 1 টি বিন্দুতে ছেদ করে, অর্থাৎ একটি মূল বাস্তব বাকি দুইটি মূল জটিল অনুবন্ধী।

আশা করি, তোমরা বহুপদীর graph সম্পর্কে ধারণা করতে পারছ, সেই সাথে এর মূলগুলো সম্পর্কেও ধারণা করতে পারছ। আশা করি, degree 4,5,….. হলে মূলের প্রকৃতির উপর নির্ভর করে graph কেমন হবে তা বলতে পারবে। 🙂

পরিশিষ্টঃ
i) ধরো z1 = 3+4i , z2 = 1+2i তাহলে z1.z2 = (3+4i)(1+2i)=-5+10i এখন, z1* =3-4i , z2* = 1-2i
তাহলে (z1).(z2) = (3-4i)(1-2i)= -5-10i
আবার, (z1.z2)* = -5-10i এর অর্থ দুইটি আলাদা আলাদা জটিল সংখ্যার অনুবন্ধীর গুণফল তাদের গুণফলের অনুবন্ধীর সমান।
ii) ধরো z1 = 3+4i , z2 = 1+2i তাহলে z1+z2 = 4+6i এখন, z1* =3-4i , z2* = 1-2i
তাহলে z1* +z2* = 4-6i আবার, (z1+z2)* = 4-6i এর অর্থ দুইটি আলাদা আলাদা জটিল সংখ্যার অনুবন্ধীর যোগফল তাদের যোগফলের অনুবন্ধীর সমান।
iii) সব অমূলদ সংখ্যাকে a+√b আকারে প্রকাশ করা যাবে এমন কোন কথা নেই।
iv) poly 4 = মূলগুলোর যোগফল , poly 4 = মূলগুলোর যেকোনো দুইটি করে নিয়ে গুণ করে প্রাপ্ত গুণফলগুলোর যোগফল, poly 4 = একইভাবে তিনটি করে নিয়ে প্রাপ্ত গুণফলগুলোর যোগফল, poly 4= মূলগুলোর গুণফল নির্দেশ করে।

আচ্ছা একটা সমস্যা দিয়ে আজকের মত শেষ করব।  😀

P(x) = x^3 +3x +1 = 0 বহুপদী সমীকরণের মূলগুলো r1, r2, r3 । তাহলে,
(1/r1)^3 + (1/r2)^3 + (1/r3)^3 এর মান কত?