Reading Time: 1 minute

আমরা বেশ কিছুদিন আগে, ক্যালকুলাসের একদম শুরুর দিকে জিনিসপত্র নিয়ে কথা বলেছিলাম । এটা থেকে আমরা লিমিট সম্পর্কে অল্প কিছু ধারণা পেয়েছিলাম । আজকে আর কোনো রাখঢাক না । আজকে আমরা সরাসরি মূল অংশে প্রবেশ করব ।

ক্যালকুলাস, মূলত এমন ১টি সিস্টেম বা গণিতের অংশ, যেটা মূলত খুব ই ক্ষুদ্র আর খুব ই বড় এ দুই হিসেবের মধ্যে সমন্বয় সাধন করে , যাতে আমরা কোন জিনিসের  যেমন একদম ছোট ছোট অংশে নিয়ে কাজ করতে পারি আবার সেই একই রকম ছোট ছোট জিনিস নিয়ে অনেক বড় জিনিস তৈরী করতে পারি , তাই ক্যালকুলাসের ২ টি অংশ :

১. অন্তরীকরণ [ Differenciation] – যেটা ১টা বড় জিনিস কে ছোট ছোট অংশে ভাগ করে ফেলে । আর “অন্তর” মানে বিয়োগ বা বাদ , তাই বড় কোন কিছু কে ছোট জিনিসে ভাগ করা কে অন্তরীকরণ বলে ।

২. যোগজীকরণ [ Integration] – যেটা ছোট ছোট জিনিস গুলোকে যোগ করে আবার বড় জিনিস টি তৈরী করে ।

আমরা জিনিস টা কে এভাবে বলতে পারি , আমার কাছে কিছু ইট আছে । আমি এই ইট গুলো দিয়ে ১টি দেয়াল তৈরী করব । তাহলে দেয়াল যদি আমদের জন্য ১টি বড় জিনিস বা সমগ্র জিনিস হয়, তাহলে আমরা বলতে পারি, আমরা দেয়াল টি কে ভেঙ্গে ইট গুলো পাব [ অন্তরীকরণ], আবার একইভাবে এই ছোট ছোট ইট গুলোকে জোড়া লাগিয়ে দেয়াল টি তৈরী করতে পারি [ যোগজীকরণ] । এত টুকু থেকে আমরা ১বাক্যে বলতে পারি ,

“ভাংতে চাইলে অন্তরীকরণ, জোরা লাগাতে চাইলে যোগজীকরণ”

ক্যালকুলাসের মূল সমীকরণঃ

আমরা এখন আগে ছোট ছোট জিনিস গুলো নিয়ে কাজ করব, কারণ ক্যালকুলাসের জন্ম হয়েছিল , ছোট ছোট জিনিস নিয়ে কাজ করার জন্য, পরে এটা থেকে আমরা বড় জিনিস আবার তৈরী করি মানে আমরা আবার আগের “সম্পূর্ণ” জিনিসে ফিরে যাই ।

তো ছোট জিনিস আমরা কীভাবে পেতে পারি ?

কিন্তু এটা বোঝার আগে আমরা ১টা জিনিস খেয়াল করি ।  আমরা ক্যালকুলাসে সবসময় আলোচনা করি , বড় জিনিস থেকে ছোট জিনিস নিয়ে অথবা ছোট জিনিস থেকে বড় জিনিস পাওয়া নিয়ে । মানে আমরা ক্যালকুলাসে সবসময় পরিবর্তন নিয়ে কাজ করি । আর যখনই আমরা পরিবর্তন নিয়ে কাজ করতে চাই তখন আমাদের গণিতের ভাষায় ২টি চলক লাগে । কারণ, পরিবর্তন সবসময় ১টি সাপেক্ষে আরেকটি জিনিসের হয়, তাহলে আমরা আমাদের উদাহরণের আলোকে বলতে পারি, আমি ইট দিয়ে দেয়াল তৈরী করি, তাহলে আমরা কী বলতে পারি না যে ১০০টি ইট দিয়ে যদি ১টি সম্পূর্ণ দেয়াল তৈরী হয়, তাহলে ৫০ টি ইট দিয়ে তৈরী হয় (১ * ৫০) / ১০০ = ১ / ২ টি দেয়াল বা দেয়ালের ১টি অংশ ?

তাহলে এখানে ১টি চলক দেয়াল [ কারণ আমি তো বলি নাই দেয়ালের আয়তন কত? খালি বলেছি ,যে শুধুমাত্র ১টি দেয়াল তৈরী করা সম্ভব ] আবার ইটের ও কোন বর্ণনা দিই নি তো ইট আরেকটি চলক , আর কতটি ইট সাপেক্ষে দেয়ালের কত অংশ তৈরী হল মানে “ইট সাপেক্ষে দেয়ালের পরিবর্তন কত” => ১ / ১০০ => দেয়ালের পরিবর্তন দেয়ালের অংশ / ইটের সংখা => y / x, যেটা সার্বজনীন ভাবে ১টা ইট সাপেক্ষে দেয়ালের কত অংশ তৈরী হয় সেটা কে বোঝায় । এভাবে ক্ষুদ্র পরিবর্ত্ন নিয়ে ক্যালকুলাস কাজ করে , আর কত ছোট ? সেটা তো আমরা গত দিন ই বুঝিয়েছি , আমরা যত ছোট পরিবর্তন ই নিয়ে কাজ করি না কেন, ক্যালকুলাস চেষ্টা করে তার থেকে ও ছোট পরিবর্তন নিয়ে কাজ করতে । আর এ জন্যই আমরা এ পরিবর্তন কে  প্রকাশ করি  y / x or dy / dx [ for for small change of y with respect of small change of x] and for very small elementary change lim (dy / dx) as x-> 0, এখানে আমরা লিমিট নিয়ে আসছি, কারণ আমরা আগে ই বলেছি আমরা এমন সব মান নিয়ে কাজ করব যেটা আমাদের ফাংশন কে অনেক অনির্ণেয় মানের কাছাকাছি নিয়ে যাবে । তাই আমরা সীমা আগে ই ঠিক করে দিচ্ছি ।

আমরা যদি এভাবে বলি ,  x সাপেক্ষে y এর পরিবর্তন y/ x, then dx সাপেক্ষে dy এর পরিবর্তন dy/dx; এটা থেকে আমরা বলতে পারি ,ক্যালকুলাসের জন্ম আসলে আমাদের অতিপরিচিত “ঐকিক নিয়ম থেকে ” আর ক্যালকুলাসের মূল উৎপত্তি আসলে এই ঐকিক নিয়ম থেকে ।

আর গাণিতিক ভাষায়, আমরা এভাবে ভেঙ্গে বলতে পারি, এই ছোট ছোট পার্ট থেকে আমরা যা পাই [ মানে অন্তরীকরণ] করে যা পাই তাকে বলে অন্তরফল । আর এ জিনিস টাই আমরা ক্যালকুলাসের differenciation  শাখায় বের করি ।

তাহলে এখন প্রশ্ন? আমরা তো বললাম ই যে ঐকিক নিয়ম থেকে এটা বের করা যায় । কিন্তু এটা conceptual , practically  আমরা এই কাজ টা geometry  দিয়ে কীভাবে solve করব  বা  লজিকালী আমরা কীভাবে এই অতি ছোট ১টি চলকের পরিবর্তন সাপেক্ষে আরেকটি চলকের মান বের করব ।

আমরা জিনিস টি কি এভাবে দেখতে পারি । ধরি ১টি ফাংশন ,  y = f(x) , এটি তে  x এর সাপেক্ষে আমরা y এর মান বের করি । তাহলে আমরা এই রেখাটির ওপর ১টা পয়েন্ট select  করি, suppose point a(x,y) আর আমরা x এর মান খুব এ সামান্য পরিমান (h, lim h tends to 0)  পরিমাণ বাড়াই, তাহলে আমাদের নতুন ভুজ  ( x + h) আর corresponding কোটি y= f(x + h) = y + h [ suppose] as h is tends to 0 so y or (y + h ) is almost same to y , so they are almost same and fraction differenc is almost 0.00000000000……1 🙂

তাহলে আমরা y এর অতি ছোট পরিবর্তন কে লিখতে পারি , dy = f(x+h) – f(x) ,  আর x এর অতি ছোট পরিবর্তন কে লিখতে পারি dx = (x + h) – x = h , আর যেহেতু আমরা অনেক ছোট x এর পরিবর্তন সাপেক্ষে  y এর পরিবর্তন বের করছি, তাহলে h  এর মান প্রায় শূন্য । আর যেহেতু h হরে আছে আর এর মান প্রায় ০, তাই আমরা লিমিটং মান use করব ,যাতে আমরা বলতে পারি  x এর পরিবর্তন প্রায় ০ [ h – > 0] কিন্তু ‘সরাসরি’ শূন্য না । তাহলে আমরা ক্যালকুলাসের মূল আর ১মাত্র 😛 সম্পর্ক লিখতে পারি বা সূত্র লিখতে পারি :

lim (dy / dx) = lim  {f(x+ h) – f(x) } / h

x – >0                  h – > 0

আবার geometry দিয়ে চিন্তা করি , f(x+h) – f(x) আসলে কী বোঝায়? y এর মানের পরিবর্তন মানে কোটি ২টির অন্তর আর হরে আছে  x  এর মানের পরিবর্তন মানে ভুজ এর পরিবর্তন । তাহলে (dy / dx) = (কোটি ২ টির বিয়োগফল) / (ভুজ ২ টির বিয়োগফল)  = ওই  সরল বা বক্র রেখাটির ঢাল বা  slope . কিন্তু ব্যাপারটি আরেকটু সুন্দর , যেটি আমরা পরের দিন আরো অনেক সুন্দর ভাবে ব্যাখা করব ;

তো আজ আমরা বুঝতে পারলাম , ক্যালকুলাস কী, কীভাবে কাজ করে আর তার মূল গাণিতিক উপস্থাপনা । এর পরের পর্বে আমরা আরো অনেক বিস্তারিত ক্যালকুলাসের ধর্ম আর তার প্রকৃত ব্যবহার নিয়ে কথা বলব । 🙂 কিন্তু ততদিন আমরা ক্যালকুলাস কে আরো “অনুভব” করার চেষ্টা করি , কেননা এটি গণিতের এমন ১টি শাখা যা আমাদের ব্যবহার কে কয়েক শত বছর আগিয়ে দিয়েছে ।