প্রথম পর্বে আমরা সরল ছন্দিত স্পন্দনের বৈশিষ্ট্য ও সমীকরণ নিয়ে আলোচনা করেছিলাম; এবারে আমরা দেখব এই সমীকরণের কাজ ও কার্যকারিতা, আরো আলোচনা হবে দশা, দশা ধ্রুবক ও সরল ছন্দিত স্পন্দনের শক্তি নিয়ে এবং…।

সরল ছন্দিত স্পন্দনের সমীকরণ:

y = Asin ωt  =Asinϴ

এখানে ωt অথবা ϴ রাশিটি হচ্ছে কণার গতির দশা। কোন নির্দিষ্ট সময়ে (t) কোন কণার দশা বলতে বুঝি, ঐ নির্দিষ্ট সময়ে কণার গতির সামগ্রিক অবস্থা (অর্থাৎ কণার সরন, বেগ, ত্বরণ, বল ইত্যাদি)। এবং ωt অথবা ϴ কোণ বিধায়, একে দশা কোণও বলা হয়ে থাকে। প্রশ্ন হতে পারে যে, কোণ (দশা) কীভাবে গতির সামগ্রিক অবস্থা নির্দেশ করে? আসলে দশা কোণ জানা থাকলে সহজেই এর মাধ্যমে আমরা নির্দিষ্ট সময়ের কৌণিক বেগ বের করতে পারি ( ω =ϴ/t দিয়ে ),  কৌণিক বেগ বের করতে পারলে তা মুল সমীকরণে (y = Asin ωt) বসিয়ে সরণ বের করতে পারি, এরপর সরণকে সময়ের সাপেক্ষে পর্যায়ক্রমে অন্তরীকরণ (Differentiate: dy/dx) করলেই যথাক্রমে বেগ ও ত্বরণ পেয়ে যাব; এরপর ত্বরণ থেকে বল বের করার জন্য নিউটন আছে তো আছেই। একটা সমস্যা কিন্তু রয়েই গেল, ধরতে পেরেছ? হুম, A (বিস্তার) এর মান কোথায় পাব? বের করে নিব;  সেটা বের করতে অবশ্য দশা ধ্রুবক লাগবে।

দশা ধ্রুবক আবার কি? দশা ধ্রুবক হল আমাদের পর্যবেক্ষণ শুরুর সময়ের দশা। একে δ (ডেল্টা) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। সরল ছন্দিত স্পন্দনের সমীকরণ বের করার সময়ে আমরা ধরে নিয়েছিলাম গতি সাম্যাবস্থান (0 degree) থেকে শুরু হচ্ছে। কিন্তু সব সময়ে কি আর গতি সাম্যাবস্থান থেকে শুরু হবে? মাঝে মাঝে আগে-পিছে থেকেও শুরু হতে পারে না? অনেকটা সরলরৈখিক গতির আদিবেগ এর মত, সবসময়ে আদিবেগ তো আর 0  থাকেনা, মাঝে মধ্যে আগে থেকেই গতিশীল থাকে। তেমনি এখানেও আমাদের কণা আগে/পিছে থেকে গতি শুরু করতে পারে। তাই এখানেও আদি-দশা…., না আদি-দশা নয় দশা ধ্রুবক থাকে। আদি-দশা বললে কি সমস্যা? সমস্যা আছে। বিভিন্ন প্রাকৃতিক চলমান স্পন্দন যেমন হার্ট-বিট,পরমানুর কম্পন ইত্যাদির ক্ষেত্রে আদি-দশা কীভাবে পাব? পরমানুর আদি-দশা খুঁজতে বিগ-ব্যাঙ্গের কাছে যাওয়া লাগবে। তাই আদি-দশা না বলে পর্যবেক্ষণ শুরুর অবস্থা ধরা হয় এবং একে দশা ধ্রুবক বলা হয়।

যাই বলি না কেন, আমাদের আলোচনায় নতুন একটি রাশি (দশা ধ্রুবক) যুক্ত হয়েছে, তো আমাদের সমীকরণ বদলাতে হবে না? কীভাবে বদলাব? খেয়াল করে দেখি, আমাদের নতুন রাশি দশা ধ্রুবক হল একটি কোণ যা নির্দেশ করে পর্যবেক্ষণ শুরুর সময়ে আমাদের কণা কত দশা কোণে এগিয়ে ছিল অথবা পিছিয়ে ছিল। তাহলে আমরা আমাদের সমীকরণ কে এভাবে লিখতে পারি ,

y = Asin (ωt + δ)

এবং এ সমীকরণ ই হল সরল ছন্দিত স্পন্দনের সাধারন সমীকরণ । একে আমরা পর্যায়-ক্রমে অন্তরীকরণ করে বেগ ও ত্বরণ পেতে পারি,

v =   ω A cos (ωt + δ)

a =   –  A ω2  sin(ωt + δ) = – ω2 y

এবার দেখা যাক , ভিন্ন ভিন্ন পরিস্থিতিতে কীভাবে সমীকরণে দশা ধ্রুবক ব্যবহার করব? যে সকল ক্ষেত্রে কণার গতি সাম্যাবস্থান থেকে শুরু হয় যেমন ( তাড়িত-চৌম্বক তরঙ্গ ইত্যাদি) সেখানে দশা ধ্রুবক হবে 0 ডিগ্রি। অর্থাৎ একেবারে মূলবিন্দু/সাম্যাবস্থান থেকে শুরু হচ্ছে। এক্ষেত্রে,

y = Asin (ωt + 0) = Asin ωt

আর যে সকল ক্ষেত্রে গতি শুরু হয় কোন নির্দিষ্ট দশা ধ্রুবক থেকে যেমন ধরি দশা ধ্রুবক 30 ডিগ্রি; তখন সরাসরি দশা ধ্রুবক (30) ব্যবহৃত হবে।

কিন্তু যে সকল ক্ষেত্রে গতি শুরু হয় বিস্তারের প্রান্ত বিন্দু থেকে যেমন ধরুন সরলদোলক কিংবা স্প্রিং এর ক্ষেত্রে,  এসব ক্ষেত্রে আমরা সরলদোলক অথবা স্প্রিং কে টেনে একপাশে এনে তারপর ছেড়ে দেই, গতি শুরু হয়ে যায়। কেউ এক পাশে না টেনে একদম সাম্যাবস্থান থেকে সরলদোলক কিংবা স্প্রিং কে গতিশীল করতে পেরেছে বলে আজ পর্যন্ত শোনা যায় নি। তাই যেহেতু গতি শুরুর সময়ে কণার অবস্থান সর্বোচ্চ বিন্দুতে তাই এক্ষেত্রে আমরা দশা ধ্রুবক 90 ডিগ্রি ব্যবহার করব। কারণ 90 ডিগ্রি দশা কোণেই কণা সর্বোচ্চ বিন্দুতে থাকে ( চিত্র দ্রষ্টব্য)।

physics-chapter-9simple-harmonic-motion-11-728

তাই এক্ষেত্রে,

y = Asin (ωt + 90) = Acos ωt

অর্থাৎ দেখা যাচ্ছে, সরলদোলক কিংবা স্প্রিংএর ক্ষেত্রে y = Acos ωt কার্যকর (y = Asinωt  নয়!)।

সরল ছন্দিত স্পন্দনের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল  তত্ত্বীয়ভাবে এখানেও শক্তির সংরক্ষন নীতি অনুসৃত হয়। সরলছন্দিত স্পন্দনের ক্ষেত্রে বিভব শক্তি ও গতিশক্তি,

U  =  ½ kx2  =  ½ k A2 sin2 (ωt + δ)

K  =  ½ mv2  =  ½ m ω2A2 cos2 (ωt + δ)

তাহলে মোট শক্তি ,

E  =  U + K  =   ½ kx2 + ½ mv2  =  ½ kA2 cos2 (ωt + δ) + ½ k A2 sin2 (ωt + δ)= ½ kA2

 এবার একটু অন্য প্রসঙ্গে যাই, প্রাকৃতিক ভাবে আমরা যত স্পন্দন গতি দেখতে পাই তার সবই তত্ত্বীয়ভাবে  সরল ছন্দিত স্পন্দন (ত্বরন সরণের সমানুপাতিক)। তবে কৃত্রিমভাবে এমন স্পন্দন গতি তৈরি সম্ভব যা সরল ছন্দিত স্পন্দন। যেমন ধরুন দুপাশে ২টি চুম্বক রেখে ( ১ টা অপরটা থেকে বেশি শক্তিশালী) মাঝখানে বিশেষভাবে  লোহা ঝুলিয়ে দিলে লোহার গতি হবে শুধুই স্পন্দন গতি , সরল ছন্দিত স্পন্দন নয় ( কারণ লোহা দোলার সময়ে দুপাশে দুরকম চুম্বক থাকার দরুন দুপাশে একই ত্বরণ সৃষ্টি হয় না; তাই সরল ছন্দিত স্পন্দনের শর্ত পূরণ হয় না)।

এবার আসি নির্মম বাস্তবতার কথায়, ফিজিক্স বড়ই নির্মম ও ছলনাময়ী।

সরল ছন্দিত স্পন্দনের সময়ে যেমন স্প্রিঙের ক্ষেত্রে ধরা হয় স্প্রিং এর কোন ওজন নেই, সম্পূর্ণ স্তিতিস্থাপক; সরল দোলকের ক্ষেত্রে , বইএর ভাষাতেই বলি , “একটি ভারী আয়তনহীন কণাকে ওজনহীন, নমনীয় ও অপ্রসারণশীল সুতা দিয়ে……” – কিসব আজগুবি কথা 😮 !! ভারী আবার আয়তনহীন 😮 !! ওজন নেই 😮 !!! সম্পূর্ণ নমনীয় 😮 !! অপ্রসারণশীল 😮 !! সব প্যারাডক্সিকাল কথা বার্তা!! এজন্যই বলা হয়, Physics is nothing but a Paradox. যাই হোক, এধরনের অবান্তর কথার পিছনে কোন ষড়যন্ত্র লুকিয়ে নেই,  উদ্দেশ্য তত্ত্বীয়ভাবে সূত্র মেলানো ।

বলতে না চাইলেও বলতে হচ্ছে যে, কিছু টেকনিক্যাল ঝামেলার ( ঘর্ষণ, ওজন, বাতাসের বাঁধা, চৌম্বক ক্ষেত্র ইত্যাদি) কারণে বাস্তবে সরল ছন্দিত স্পন্দনের কো্ন অস্তিত্ব নেই । তার মানে এই নয় যে সবই কাল্পনিক; কিছু ত্রুটির কারণে সত্যিকারের সরল ছন্দিত স্পন্দন পাওয়া যাবে না ঠিকই। কিন্তু তারপরও এই  বাস্তব জীবনের ত্রুটিপূর্ণ সরল ছন্দিত স্পন্দনের উপরেই আমাদের মহাবিশ্ব গড়ে উঠেছে; বিস্তৃত হচ্ছে; আমরা বেঁচেও আছি এরই কল্যাণে। তাই সম্পূর্ণ অস্বীকারেরও উপায়ও নেই সরল ছন্দিত স্পন্দন কে ।

সরল ছন্দিত স্পন্দন নিয়ে এই টুকুই। পরিশেষে আবারো বলছি, বাস্তবে সরল ছন্দিত স্পন্দনের কোন অস্তিত্ব নেই; সত্যিই। কিন্তু………

কিন্তু সরল ছন্দিত স্পন্দন ব্যবহার করে আপনি খুব সহজেই ঘুরে আসতে পারেন সুদূর আমেরিকা থেকে 😮 !! যেতে সময় লাগবে মাত্র 43 মিনিট 😮 !! কীভাবে? এভাবে…

Recommendation:

  1. সরল ছন্দিত স্পন্দনের বিভিন্ন বিষয়গুলো পরীক্ষা করতে সাইটে ঢুঁ মারতে পারেন…
  2. যারা HTML ও CSS এ দক্ষ, তারা ওয়েব-পেইজেই সরল ছন্দিত স্পন্দন দিয়ে মজা করতে পারেন… দিক নির্দেশনা

Reference:

  1. Khaled Mosharraf Mukut
  2. Chamak Hassan
  3. Nishom Sarkar
  4. Google.com :p